Considere a aplicação T: P_{2} \rightarrow \mathbb{R} onde T(p(x))=p(2), \operatorname{com} p(x)=a x^{2}+b x+c
a) Verique que T é uma transformação linear.
b) Ache o núcleo e determine uma base para N(T).
c) Verique que T é sobrejetora e exiba um polinômio p(x) \in P_{2} tal que T(p(x))=3.
d) Existem outros polinômios q(x) \in P_{2} tal que T(q(x))=3 ? Justique sua resposta usando Álgebra Linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear T\colon P_{2}\to\mathbb{R} por
T\bigl(p(x)\bigr)=p(2), \quad p(x)=a x^{2}+b x+c.
Vamos verificar que T é linear, depois achar o núcleo e uma base, mostrar que T é sobrejetora exibindo um polinômio que manda em 3 e, por fim, discutir quantos polinômios vão em 3.

Passo 2

Para provar que T é linear, usamos as definições:
  1. T(p+q)= (p+q)(2)=p(2)+q(2)=T(p)+T(q).
  2. T(\lambda p)= (\lambda p)(2)=\lambda\,p(2)=\lambda\,T(p).
    Logo T preserva soma e multiplicação por escalar, isto é, é transformação linear.

Passo 3

O núcleo é
\ker(T)=\bigl\{p\in P_2 : p(2)=0\bigr\}.
Escrevendo p(2)=4a+2b+c=0, temos c=-4a-2b. Assim
p(x)=a x^2+b x-4a-2b = a(x^2-4)+b(x-2).
Como a e b são livres, \dim\ker(T)=2 e uma base é
\{\,x^2-4,\;x-2\}.

Passo 4

Para ver que T é sobrejetora, basta notar que, para qualquer y\in\mathbb{R}, o polinômio constante p(x)=y satisfaz T(p)=p(2)=y. Em particular, para y=3 podemos escolher
p(x)=3,
pois então T(p)=3.

Passo 5

A pré-imagem de 3 é o conjunto afim
\{\,p\in P_2 : p(2)=3\} = p_0 + \ker(T),
onde p_0(x)=3. Como \dim\ker(T)=2>0, existem infinitos polinômios que vão em 3, por exemplo
q(x)=3 + a(x^2-4)+b(x-2), \quad a,b\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) T é linear.
(b) \ker(T)=\{p\in P_2:p(2)=0\}, base \{x^2-4,\;x-2\}.
(c) T é sobrejetora; por exemplo p(x)=3 satisfaz T(p)=3.
(d) Sim. Como \dim\ker(T)=2, o conjunto \{p\in P_2:p(2)=3\} é infinito, dado por 3+a(x^2-4)+b(x-2).

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