Considere a aplicação
onde
a) Verique que
é uma transformação linear.
b) Ache o núcleo e determine uma base para
.
c) Verique que
é sobrejetora e exiba um polinômio
tal que
.
d) Existem outros polinômios
tal que
? Justique sua resposta usando Álgebra Linear.
a) Verique que
b) Ache o núcleo e determine uma base para
c) Verique que
d) Existem outros polinômios
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
por
Vamos verificar que
é linear, depois achar o núcleo e uma base, mostrar que
é sobrejetora exibindo um polinômio que manda em 3 e, por fim, discutir quantos polinômios vão em 3.
Passo 2
Para provar que
é linear, usamos as definições:
-
. -
.
Logopreserva soma e multiplicação por escalar, isto é, é transformação linear.
Passo 3
O núcleo é
Escrevendo
, temos
. Assim
Como
e
são livres,
e uma base é
Passo 4
Para ver que
é sobrejetora, basta notar que, para qualquer
, o polinômio constante
satisfaz
. Em particular, para
podemos escolher
pois então
.
Passo 5
A pré-imagem de 3 é o conjunto afim
onde
. Como
, existem infinitos polinômios que vão em 3, por exemplo
Resposta
(a)
é linear.
(b) , base
.
(c) é sobrejetora; por exemplo
satisfaz
.
(d) Sim. Como , o conjunto
é infinito, dado por
.
(b)
(c)
(d) Sim. Como