Encontre os autovalores e autovetores da matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cc}2 & 4 \\\ 3 & 13\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 3 & 13\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é a definição de autovalor via polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e, em seguida, obter cada autovetor resolvendo (A - \lambda I)v=0.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, calculamos
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4 \\[4pt] 3 & 13-\lambda\end{pmatrix} = (2-\lambda)(13-\lambda) - 4\cdot3.
Fazendo a expansão:
(2-\lambda)(13-\lambda) - 12 = \lambda^2 -15\lambda +26 -12 = \lambda^2 -15\lambda +14.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 -15\lambda +14 = 0
pela fórmula de Bhaskara,
\lambda = \frac{15 \pm \sqrt{15^2 - 4\cdot1\cdot14}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{225 -56}}{2} = \frac{15 \pm 13}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 14 e \lambda_2 = 1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 14, resolvemos
(A - 14I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2-14 & 4 \\\\ 3 & 13-14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 & 4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação -12x + 4y = 0 vem y = 3x.
Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2-1 & 4 \\\\ 3 & 13-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & 12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação x + 4y = 0 vem x = -4y.
Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}-4 \\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 14 e \lambda_2 = 1.
Autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 3\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}-4 \\\\ 1\end{pmatrix}.

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