Mostrar que
dada por
é injetora mas não é bijetora
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos mostrar que
é injetora (kernel trivial) mas não é bijetora (não é sobrejetora). Usaremos o cálculo do núcleo e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Calcular o núcleo de
logo devemos resolver o sistema
Da primeira equação vem
obtemos
. Em seguida
dá
. Portanto
Passo 3
Como
, o núcleo é apenas o vetor nulo. Pelo critério de injetividade de transformações lineares, isso implica que
é injetora.
Passo 4
Mostrar que
não é sobrejetora. Pelo teorema do posto-nulidade vale
Como
, segue
. Mas
, então
o que impede
de ser sobrejetora.
Resposta
A transformação
é injetora mas não é bijetora.