Mostrar que T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z)
é injetora mas não é bijetora

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4
por
T(x,y,z) = (\,x,\;x - y,\;y - z,\;z\,).
Queremos mostrar que T é injetora (kernel trivial) mas não é bijetora (não é sobrejetora). Usaremos o cálculo do núcleo e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Calcular o núcleo de T\). Temos \[\ker(T) = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : T(x,y,z)=(0,0,0,0)\}
logo devemos resolver o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\ x - y = 0,\\\ y - z = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo em \(x-y=0 obtemos y=0. Em seguida y-z=0 z=0. Portanto
\ker(T) = \{(0,0,0)\}.

Passo 3

Como \ker(T)=\{(0,0,0)\}, o núcleo é apenas o vetor nulo. Pelo critério de injetividade de transformações lineares, isso implica que T é injetora.

Passo 4

Mostrar que T não é sobrejetora. Pelo teorema do posto-nulidade vale
\dim(\mathbb{R}^3) = \dim(\ker(T)) + \operatorname{rank}(T).
Como \dim(\ker(T))=0, segue \operatorname{rank}(T)=3. Mas \dim(\mathbb{R}^4)=4, então
\operatorname{rank}(T)=3 < 4 = \dim(\mathbb{R}^4),
o que impede T de ser sobrejetora.

Resposta

A transformação T é injetora mas não é bijetora.

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