Encontre os autovalores e autovetores da matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cc}1 & 4 \\\ 2 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico \det(A - \lambda I) para obter os autovalores \lambda e, em seguida, resolver (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} para cada \lambda a fim de achar os autovetores \mathbf{v}.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 \\[0.3em]2 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda) - 4\cdot 2.
Expandindo,
(1-\lambda)(-1-\lambda) = -1 -\lambda +\lambda +\lambda^2 = \lambda^2 - 1,
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\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 1 - 8 = \lambda^2 - 9.]

Passo 3

Resolvendo a equação característica \lambda^2 - 9 = 0, temos
\lambda^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 3 \quad\text{ou}\quad \lambda = -3.
Portanto, os autovalores são \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = -3.

Passo 4

Para \lambda_1 = 3, resolvemos
(A - 3I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix}1-3 & 4 \\[0.3em]2 & -1-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 4 \\[0.3em]2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
A primeira linha dá -2x + 4y = 0, ou seja x = 2y. Escolhendo y = 1, obtemos o autovetor
\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}2 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = -3, resolvemos
(A + 3I)\mathbf{v} = \begin{pmatrix}1+3 & 4 \\[0.3em]2 & -1+3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 4 \\[0.3em]2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \mathbf{0}.
A primeira linha dá 4x + 4y = 0, ou seja x = -y. Escolhendo y = 1, obtemos o autovetor
\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 3 com \mathbf{v}_1 = (2,\,1)^\mathsf{T}
\lambda_2 = -3 com \mathbf{v}_2 = (-1,\,1)^\mathsf{T}

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