Considere a aplicação T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+k y, x+k, y). Verifique se T é linear nos seguintes casos:
k=1

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x + k,y,;x + k,;y,)
e pede para verificar se T é linear quando k=1.
Lembrando que uma aplicação T é linear se, e somente se, para todos u,vinR^2 e todo escalar lambda, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda u)=lambda,T(u)
Um teste rápido é verificar se
T(0,0) = (0,0,0),
pois toda transformação linear manda o vetor nulo no vetor nulo.

Passo 2

Para k=1, temos
T(0,0) = l(0 + 1cdot 0,;0 + 1,;0r) = (0,1,0)
Como (0,1,0)neq(0,0,0), concluímos que T não preserva o vetor nulo e, portanto, não é linear.

Resposta

A aplicação T não é linear quando k=1.

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