Considere a aplicação \varphi:(0,+\infty) \rightarrow(0,1) dada por \varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}. É um difeomorfismo?
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação \varphi:(0,+\infty)\to(0,1) definida por
\varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}.
A pergunta é: \varphi é um difeomorfismo?
Informações relevantes fornecidas:
Domínio: (0,+\infty).
Contradomínio fornecido: (0,1).
Fórmula explícita da função: \varphi(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+1}.
O que se pede: decidir se \varphi é um difeomorfismo (i.e. bijetora, diferenciável com inversa diferenciável).
Passo 2
Recordando bem didaticamente o que é um difeomorfismo entre abertos de \mathbb{R}:
Uma função é difeomorfismo se é bijetora, de classe C^{1} (ou mais suave) e sua inversa também é de classe C^{1} (ou mais suave).
Vou então verificar, passo a passo, (i) diferenciabilidade de \varphi, (ii) injetividade e sobrejetividade (bijetividade), (iii) existência e diferenciabilidade da inversa.
Passo 3
Diferenciabilidade de \varphi.
A função \varphi é uma razão de polinômios com denominador t^{2}+1 que nunca se anula em (0,+\infty). Razões de polinômios com denominador sem zeros no domínio são funções C^{\infty}. Portanto \varphi é C^{\infty} em (0,+\infty) (em particular é C^{1}).
Passo 4
Cálculo da derivada para ver o comportamento monotônico (uso da regra do quociente). Para \,t>0,
Para \,t>0\, temos \varphi'(t)>0. Isso significa que \varphi é estritamente crescente em (0,+\infty). Resultado útil: função estritamente crescente em um intervalo é injetiva.
Passo 5
Injetividade e imagem. Já vimos que \varphi é estritamente crescente, logo é injetiva. Agora verificar a imagem (sobrejetividade sobre (0,1)) usando limites e continuidade.
Como \varphi é contínua e estritamente crescente, a imagem de (0,+\infty) é o intervalo aberto entre esses limites, ou seja (0,1). Assim, para todo y\in(0,1) existe exatamente um t\in(0,+\infty) com \varphi(t)=y. Portanto \varphi é sobrejetiva para (0,1). Combinando, \varphi é bijetora.
Passo 6
Encontrar a inversa explicitamente (útil para verificar a diferenciabilidade da inversa). Seja y\in(0,1) e suponha y=\varphi(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+1}. Resolvo para t:
Como t>0 (domínio original), tomo a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
Portanto a inversa \psi=(\varphi)^{-1}:(0,1)\to(0,+\infty) é dada por
\psi(y)=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
Passo 7
Diferenciabilidade da inversa \psi. Vou mostrar \psi é C^{1} (na verdade C^{\infty}). Escrevo \psi como composição de funções suaves: y\mapsto \dfrac{y}{1-y} é C^{\infty} em (0,1) (denominador não nulo) e a função \sqrt{\cdot} é C^{\infty} em (0,+\infty). Composição de C^{\infty} com C^{\infty} dá C^{\infty}. Logo \psi é C^{\infty}.
Para concreção, calculo a derivada por regra da cadeia. Defina u(y)=\dfrac{y}{1-y}. Então
Para y\in(0,1) esse valor é bem definido, positivo e contínuo. Assim \psi é C^{1} (e C^{\infty}) em (0,1).
Passo 8
Conclusão lógica final: já mostrei que \varphi é bijetora, \varphi é C^{\infty} em (0,+\infty) e sua inversa \psi é C^{\infty} em (0,1). Portanto \varphi é um difeomorfismo entre (0,+\infty) e (0,1).
Resposta
Sim. \varphi é um difeomorfismo de classe C^{\infty} entre (0,+\infty) e (0,1). A inversa é \psi:(0,1)\to(0,+\infty), \displaystyle \psi(y)=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.