Considere a aplicação \varphi:(0,+\infty) \rightarrow(0,1) dada por \varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}. É um difeomorfismo?

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação \varphi:(0,+\infty)\to(0,1) definida por
\varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}.
A pergunta é: \varphi é um difeomorfismo?
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: (0,+\infty).
  • Contradomínio fornecido: (0,1).
  • Fórmula explícita da função: \varphi(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+1}.
    O que se pede: decidir se \varphi é um difeomorfismo (i.e. bijetora, diferenciável com inversa diferenciável).

Passo 2

Recordando bem didaticamente o que é um difeomorfismo entre abertos de \mathbb{R}:
  • Uma função é difeomorfismo se é bijetora, de classe C^{1} (ou mais suave) e sua inversa também é de classe C^{1} (ou mais suave).
    Vou então verificar, passo a passo, (i) diferenciabilidade de \varphi, (ii) injetividade e sobrejetividade (bijetividade), (iii) existência e diferenciabilidade da inversa.

Passo 3

Diferenciabilidade de \varphi.
A função \varphi é uma razão de polinômios com denominador t^{2}+1 que nunca se anula em (0,+\infty). Razões de polinômios com denominador sem zeros no domínio são funções C^{\infty}. Portanto \varphi é C^{\infty} em (0,+\infty) (em particular é C^{1}).

Passo 4

Cálculo da derivada para ver o comportamento monotônico (uso da regra do quociente). Para \,t>0,
\varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}.
Aplicando a regra do quociente:
\varphi'(t)=\frac{(2t)(t^{2}+1)-t^{2}\cdot(2t)}{(t^{2}+1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(2t)(t^{2}+1)-t^{2}\cdot(2t)=2t^{3}+2t-2t^{3}=2t.
Logo
\varphi'(t)=\frac{2t}{(t^{2}+1)^{2}}.
Para \,t>0\, temos \varphi'(t)>0. Isso significa que \varphi é estritamente crescente em (0,+\infty). Resultado útil: função estritamente crescente em um intervalo é injetiva.

Passo 5

Injetividade e imagem. Já vimos que \varphi é estritamente crescente, logo é injetiva. Agora verificar a imagem (sobrejetividade sobre (0,1)) usando limites e continuidade.
Calculo dos extremos assumidos como limites:
\lim_{t\to0^{+}}\varphi(t)=\lim_{t\to0^{+}}\frac{t^{2}}{t^{2}+1}=0,
pois o numerador tende a 0 enquanto o denominador tende a 1.
Para t\to+\infty, escrevo
\varphi(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}=\frac{1}{1+1/t^{2}}\xrightarrow[t\to+\infty]{}1.
Como \varphi é contínua e estritamente crescente, a imagem de (0,+\infty) é o intervalo aberto entre esses limites, ou seja (0,1). Assim, para todo y\in(0,1) existe exatamente um t\in(0,+\infty) com \varphi(t)=y. Portanto \varphi é sobrejetiva para (0,1). Combinando, \varphi é bijetora.

Passo 6

Encontrar a inversa explicitamente (útil para verificar a diferenciabilidade da inversa). Seja y\in(0,1) e suponha y=\varphi(t)=\dfrac{t^{2}}{t^{2}+1}. Resolvo para t:
y(t^{2}+1)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad yt^{2}+y=t^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}(1-y)=y.
Como y\in(0,1), 1-y>0, então
t^{2}=\frac{y}{1-y}.
Como t>0 (domínio original), tomo a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.
Portanto a inversa \psi=(\varphi)^{-1}:(0,1)\to(0,+\infty) é dada por
\psi(y)=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.

Passo 7

Diferenciabilidade da inversa \psi. Vou mostrar \psi é C^{1} (na verdade C^{\infty}). Escrevo \psi como composição de funções suaves: y\mapsto \dfrac{y}{1-y} é C^{\infty} em (0,1) (denominador não nulo) e a função \sqrt{\cdot} é C^{\infty} em (0,+\infty). Composição de C^{\infty} com C^{\infty} C^{\infty}. Logo \psi é C^{\infty}.
Para concreção, calculo a derivada por regra da cadeia. Defina u(y)=\dfrac{y}{1-y}. Então
u'(y)=\frac{(1-y)\cdot 1 - y\cdot(-1)}{(1-y)^{2}}=\frac{1}{(1-y)^{2}}.
Como \psi(y)=\sqrt{u(y)}=u(y)^{1/2}, aplica-se a cadeia:
\psi'(y)=\frac{1}{2}u(y)^{-1/2}\,u'(y)=\frac{1}{2\sqrt{u(y)}}\cdot\frac{1}{(1-y)^{2}}.
Substituindo u(y)=\dfrac{y}{1-y} e simplificando obtém-se uma forma mais explícita:
\psi'(y)=\frac{1}{2\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}}\cdot\frac{1}{(1-y)^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{y}\,(1-y)^{3/2}}.
Para y\in(0,1) esse valor é bem definido, positivo e contínuo. Assim \psi é C^{1} (e C^{\infty}) em (0,1).

Passo 8

Conclusão lógica final: já mostrei que \varphi é bijetora, \varphi é C^{\infty} em (0,+\infty) e sua inversa \psi é C^{\infty} em (0,1). Portanto \varphi é um difeomorfismo entre (0,+\infty) e (0,1).

Resposta

Sim. \varphi é um difeomorfismo de classe C^{\infty} entre (0,+\infty) e (0,1). A inversa é \psi:(0,1)\to(0,+\infty), \displaystyle \psi(y)=\sqrt{\frac{y}{1-y}}.

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