Considere C o arco de parábola z=3-y^2 no plano y z compreendido entre as semiretas z=2 y e z=112 y, com y >= 0. Seja S a superfície obtida girando-se C em torno do eixo z. Pede-se
(a) Uma parametrização para S.
(b) A área de S. (resp.: (5 raiz5-2 raiz2) pi6.)

Passo 1

O enunciado descreve a curva C no plano yz dada por z=3-y^2 para y>=0, limitada pelas retas z=2y e z=tfrac112y. Ao girar C em torno do eixo z, obtemos uma superfície de revolução S. O que precisamos fazer é (a) parametrizar essa superfície e (b) calcular sua área usando a fórmula de área de superfície parametrizada.

Passo 2

Para saber o intervalo de y, achamos as interseções de z=3-y^2 com z=2y e com z=tfrac112y.
Resolvendo
3 - y^2 = 2y Longrightarrow y^2 + 2y -3 = 0 Longrightarrow y=1 ou y=-3,
e como y>=0 ficamos com y=1.
Resolvendo
3 - y^2 = tfrac112y Longrightarrow 2y^2 + 11y -6 = 0 Longrightarrow y=tfrac12 ou y=-6,
e escolhemos y=tfrac12. Logo y varia de tfrac12 a 1.

Passo 3

Como superfície de revolução em torno do eixo z, para cada yin[tfrac12,1] e thetain[0,2pi] temos
x = ycostheta, yno espaço = ysintheta, z = 3 - y^2 ç
Uma parametrização conveniente é
Phi(y,theta) = l(ycostheta,;ysintheta,;3-y^2r),
com tfrac12<= y<=1, 0<=theta<=2pi.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
Phiy = (costheta,;sintheta,;-2y), Phitheta = (-ysintheta,;ycostheta,;0)
O produto vetorial tem magnitude
llvertPhiytimesPhithetarrvert = yraiz1 + (2y)^2 = yraiz1+4y^2

Passo 5

A área de S é
A = integral0^2pi!!integraly=tfrac12^1 llvertPhiytimesPhithetarrvert ;dy,dtheta = 2pi integraltfrac12^1 yraiz1+4y^2,dy
Fazendo t=1+4y^2, dt=8y,dy, temos
integral yraiz1+4y^2,dy = 18integral t^1/2,dt = 112t^3/2 = 112(1+4y^2)^3/2
Assim
A = 2pi[112l((1+4y^2)^3/2r)]y=tfrac12^1 = pi6l(5raiz5 -2raiz2r)

Resposta

(a) Phi(y,theta) = l(ycostheta,;ysintheta,;3-y^2r), com tfrac12<= y<=1, 0<=theta<=2pi.
(b) A = (5raiz5 -2raiz2),pi6

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