Considere C o arco de parábola no plano compreendido entre as semiretas e , com . Seja a superfície obtida girando-se em torno do eixo z. Pede-se
(a) Uma parametrização para .
(b) A área de S. (resp.: .)
Passo 1
O enunciado descreve a curva no plano dada por para , limitada pelas retas e . Ao girar em torno do eixo , obtemos uma superfície de revolução . O que precisamos fazer é (a) parametrizar essa superfície e (b) calcular sua área usando a fórmula de área de superfície parametrizada.
Passo 2
Para saber o intervalo de , achamos as interseções de com e com .
Resolvendo
e como ficamos com .
Resolvendo
e escolhemos . Logo varia de a .
Passo 3
Como superfície de revolução em torno do eixo , para cada e temos
Uma parametrização conveniente é
com , .
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial tem magnitude
Passo 5
A área de S é
A = integral0^2pi!!integraly=tfrac12^1 llvertPhiytimesPhithetarrvert ;dy,dtheta = 2pi integraltfrac12^1 yraiz1+4y^2,dy
Fazendo t=1+4y^2, dt=8y,dy, temos
integral yraiz1+4y^2,dy = 18integral t^1/2,dt = 112t^3/2 = 112(1+4y^2)^3/2
Assim
A = 2pi[112l((1+4y^2)^3/2r)]y=tfrac12^1 = pi6l(5raiz5 -2raiz2r)
Resposta
(a) Phi(y,theta) = l(ycostheta,;ysintheta,;3-y^2r), com tfrac12<= y<=1, 0<=theta<=2pi.
(b) A = (5raiz5 -2raiz2),pi6