Verifique que a função dada é contínua em todos os pontos de seu domínio:
f(x)=7 xx^2+5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x)=7xx^2+5x+6
No caso, vamos usar que polinômios são funções contínuas em R e que quociente de funções contínuas é contínuo desde que o denominador não seja zero.

Passo 2

Precisamos achar o domínio de f. O denominador anula-se quando
x^2+5x+6=0
Fatorando, temos
x^2+5x+6=(x+2)(x+3),
logo as raízes são x=-2 e x=-3. Portanto o domínio de f é
Rsetminus-3,-2

Passo 3

O numerador 7x e o denominador x^2+5x+6 são polinômios em x. Sabemos que todo polinômio é contínuo em cada ponto de R.

Passo 4

Pelo teorema do quociente, se g e h são contínuas em um ponto a e h(a)neq0, então
gh
é contínua em a. Aqui g(x)=7x e h(x)=x^2+5x+6 são contínuas em todo ponto de R e h(x)neq0 para xneq-3,-2. Logo f(x)=g(x)/h(x) é contínua em todo ponto do seu domínio.

Resposta

A função f(x) é contínua para todo xinRsetminus-3,-2.

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