Verifique que a função dada é contínua em todos os pontos de seu domínio:
g(x)=x^13(1+x^3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
g(x)=x^13l(1+x^3r)
é contínua em todo ponto de seu domínio. O conteúdo envolvido é a continuidade de funções elementares (raízes ímpares, polinômios) e o fato de que produto de funções contínuas é contínuo.

Passo 2

Identificamos o domínio de . A função (raiz cúbica) está bem definida para todo e é um polinômio, também definido em todo . Logo,

Passo 3

Mostramos que xmapsto x^13 é contínua em R. De fato, a função cúbica xmapsto x^3 é contínua e bijetora em R, portanto sua inversa, a raiz cúbica x^1/3, também é contínua em todo real. Assim,
limxto ax^13=a^13,forall,ainR

Passo 4

Mostramos que xmapsto 1+x^3 é contínua em R. Como soma de funções contínuas (constante 1 e polinômio x^3), vale
limxto al(1+x^3r)=1+a^3,forall,ainR

Passo 5

Concluímos que g é produto de duas funções contínuas em R:
g(x)=l(x^13r)cdotl(1+x^3r)
Pelo teorema do produto, g é contínua em todo ponto de seu domínio.

Resposta

A função g(x)=x^13l(1+x^3r) é contínua para todo xinR.

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