(11+y^2+cos x-2 x y) d yd x=y(y+sin x), y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(11+y^2+cos x-2xyr)dydx=y,(y+sin x),
com condição inicial y(0)=1. Reconhecemos que, escrita em forma diferencial,
-y(y+sin x),dx+l(11+y^2+cos x-2xyr),dy=0,
é uma forma diferencial que pode ser exata. Resolveremos encontrando uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Identifiquemos
M(x,y)=-y,(y+sin x)=-y^2-ysin x, N(x,y)=11+y^2+cos x-2xy
Calculamos
partial Mpartial y=-2y-sin x, partial Npartial x=-sin x-2y,
e vemos que partial M/partial y=partial N/partial x, logo a forma é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que Fx=M e Fy=N. Integramos M em relação a x:
F(x,y)=integral(-y^2-ysin x),dx=-xy^2+ycos x+h(y)
Depois, impomos Fy=N:
Fy=-2xy+cos x+h'(y)stackrel!=11+y^2+cos x-2xy implies h'(y)=11+y^2
Integramos h'(y) em y e obtemos h(y)=arctan y. Logo
F(x,y)=-x,y^2+ycos x+arctan y
A solução implícita geral é
F(x,y)=C,
isto é,
-x,y^2+ycos x+arctan y=C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1:
-x,y^2+ycos x+arctan y|(0,1) =-0cdot1^2+1cdotcos0+arctan1 =1+pi4
Logo C=1+pi/4.

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(0)=1 é
-x,y^2+ycos x+arctan y=1+pi4

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