Considere o arco semicircular
. O arco é rotacionado em torno do eixo
. Encontre a área da superfície gerada.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada ao rotacionar o arco semicircular
em torno da reta
.
Conteúdo: superfície de revolução em torno de reta qualquer.
Fórmula que vamos usar:
Conteúdo: superfície de revolução em torno de reta qualquer.
Fórmula que vamos usar:
onde
é a distância do ponto
ao eixo de rotação e
é o elemento de comprimento de arco.
Passo 2
Parametrizamos o arco semicircular usando o parâmetro
:
Então
Passo 3
A reta de rotação é
, cuja forma
é
.
A distância de a essa reta é
A distância de
e notamos que
6+4cos t+2sin t>0 em todo
tin[0,pi] , então podemos retirar o valor absoluto.
Passo 4
Substituindo em
temos
Passo 5
Calculamos a integral:
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