Considere o arco semicircular (x-2)^2+(y-2)^2=4, y >= 2. O arco é rotacionado em torno do eixo y+2 x=0. Encontre a área da superfície gerada.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao rotacionar o arco semicircular
(x-2)^2+(y-2)^2=4, y>=2
em torno da reta y+2x=0.
Conteúdo: superfície de revolução em torno de reta qualquer.
Fórmula que vamos usar:
S = integral C 2pi,d(P,reta), d s,
onde d(P,reta) é a distância do ponto P ao eixo de rotação e d s é o elemento de comprimento de arco.

Passo 2

Parametrizamos o arco semicircular usando o parâmetro tin[0,pi]:
x(t)=2+2cos t, y(t)=2+2sin t
Então
d x d t=-2sin t, d y d t=2cos t Longrightarrow d s =raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2, d t =2, d t

Passo 3

A reta de rotação é y+2x=0, cuja forma ax+by+c=0 é 2x+y+0=0.
A distância de (x(t),y(t)) a essa reta é
d(t)=l|2x(t)+y(t)r|raiz2^2+1^2 =6+4cos t+2sin traiz5,
e notamos que 6+4cos t+2sin t>0 em todo tin[0,pi], então podemos retirar o valor absoluto.

Passo 4

Substituindo em
S = integral0^pi2pi,d(t), d s
temos
S =2piintegral0^pi6+4cos t+2sin traiz5;2, d t =4piraiz5integral0^pi(6+4cos t+2sin t), d t

Passo 5

Calculamos a integral:
integral0^pi(6+4cos t+2sin t), d t =l[6t+4sin t-2cos tr]0^pi =6pi+4
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S =4piraiz5,(6pi+4) =8pi,(3pi+2)raiz5

Resposta

boxed;S=8pi,(3pi+2)raiz5;

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