Determine se a sequência diverge ou converge, se ela converge encontre o valor do limite.
an=n+1n^2-2

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an=n+1n^2-2
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo aqui é o cálculo de limite de sequência racional, em que o grau do polinômio do denominador é maior que o do numerador, sugerindo limite zero.

Passo 2

Para evidenciar o comportamento assintótico, dividimos numerador e denominador por n^2:
an =n+1n^2-2 =n+1n^2n^2-2n^2 =unvn,
onde definimos
un=n+1n^2, vn=n^2-2n^2

Passo 3

Calculamos separadamente os limites de un e vn:
  1. Para un:
un =n+1n^2 =nn^2+1n^2 =1n+1n^2 Longrightarrow limntoinftyun=0+0=0
  1. Para vn:
vn =n^2-2n^2 =1-2n^2 Longrightarrow limntoinftyvn=1-0=1

Passo 4

Como limntoinftyun=0 e limntoinftyvn=1neq0, pelo teorema do quociente de limites temos
limntoinftyan =limntoinftyunvn =limntoinftyunlimntoinftyvn =01=0

Passo 5

Concluímos que a sequência (an) converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan=0

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