Considere a área da região que contém a origem e é limitada pelo eixo dos
, pela parábola
e pela reta
com
. O valor de
para que essa área seja igual a
é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um valor de
entre 0 e 9 tal que a área da região limitada pelo eixo
, pela parábola
, e pela reta
seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais para encontrar a área sob a curva da parábola entre 0 e
e igualar isso a
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo
. Isso acontece quando
:
Então, a parábola cruza o eixo
nos pontos 0 e 10.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área sob a curva da parábola desde
até
. Para isso, usamos a integral definida:
A integral nos dá a área entre a curva e o eixo
nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Passo 5
De acordo com o enunciado, essa área deve ser igual a
. Então, temos a equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 6
Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar a fração:
Reorganizando:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá uma solução
, que não está no intervalo desejado, e a equação quadrática:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Como
deve ser menor que 9, a solução válida é
.
Resposta
O valor de
é 6.