Considere a área da região que contém a origem e é limitada pelo eixo dos x, pela parábola y=-x^2+10 x e pela reta x=b com 0<b<9. O valor de b para que essa área seja igual a 18 b é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um valor de b entre 0 e 9 tal que a área da região limitada pelo eixo x , pela parábola y = -x^2 + 10x , e pela reta x = b seja igual a 18b . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais para encontrar a área sob a curva da parábola entre 0 e b e igualar isso a 18b .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo x . Isso acontece quando y = 0 :
-x^2 + 10x = 0 x(-x + 10) = 0 x = 0 ou x = 10
Então, a parábola cruza o eixo x nos pontos 0 e 10.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área sob a curva da parábola desde x = 0 até x = b . Para isso, usamos a integral definida:
Área = integral0^b (-x^2 + 10x) , dx Á
A integral nos dá a área entre a curva e o eixo x nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + 10x) , dx = -x^33 + 5x^2 + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a b :
Área = ( -b^33 + 5b^2 ) - ( -0^33 + 5 times 0^2 ) = -b^33 + 5b^2 Á

Passo 5

De acordo com o enunciado, essa área deve ser igual a 18b . Então, temos a equação:
-b^33 + 5b^2 = 18b
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de b .

Passo 6

Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por 3 para eliminar a fração:
-b^3 + 15b^2 = 54b
Reorganizando:
-b^3 + 15b^2 - 54b = 0
Podemos fatorar b :
b(-b^2 + 15b - 54) = 0
Isso nos dá uma solução b = 0 , que não está no intervalo desejado, e a equação quadrática:
-b^2 + 15b - 54 = 0 b^2 - 15b + 54 = 0

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática b^2 - 15b + 54 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
b = 15 pm raiz225 - 2162 = 15 pm raiz92 = 15 pm 32
Então, temos:
b = 15 + 32 = 9 ou b = 15 - 32 = 6
Como b deve ser menor que 9, a solução válida é b = 6 .

Resposta

O valor de b é 6.

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