Use derivação implícita e regra da cadeia combinadas:
ln (x^2+y^2)=arctan (y)+x

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
lnl(x^2+y^2r)=arctan(y)+x
e pede dydx. Para isso vamos usar diferenciação implícita e a regra da cadeia sempre que diferenciarmos uma função composta.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
o lado esquerdo é ln(u) com u=x^2+y^2, então
ddxlnl(x^2+y^2r) =1x^2+y^2cdotddxl(x^2+y^2r) =1x^2+y^2l(2x+2y,y'r)
O lado direito é arctan(y)+x, logo
ddxl[arctan(y)+xr] =11+y^2,y'+1

Passo 3

Igualando as duas derivadas:
2x+2y,y'x^2+y^2 =y'1+y^2+1
Multiplicando todos os termos por x^2+y^2 para eliminar o denominador da esquerda:
2x+2y,y' =(x^2+y^2)y'1+y^2+(x^2+y^2)

Passo 4

Isolando os termos com y' num só lado e os sem y' no outro:
2y,y' - x^2+y^21+y^2,y' =(x^2+y^2)-2x
Colocando y' em evidência:
y'l(2y - x^2+y^21+y^2r) =(x^2+y^2)-2x

Passo 5

Resolvendo para y':
y' =(x^2+y^2)-2x,2y - dfracx^2+y^21+y^2,
Podemos igualmente multiplicar numerador e denominador por 1+y^2 para simplificar:
y' =l((x^2+y^2)-2xr),(1+y^2) 2y,(1+y^2)-(x^2+y^2)

Resposta

dydx =l(x^2+y^2-2xr),(1+y^2) 2y,(1+y^2)-(x^2+y^2)

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