Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral0^pi4 e^3 y sen(4 y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular exatamente a integral definida
integral0^pi4 e^3y,sin(4y),dy
O conteúdo envolve integração de produto de exponencial por função trigonométrica. Para resolver, usamos a primitiva conhecida da forma
integral e^aysin(by),dy

Passo 2

Vamos obter a primitiva de integral e^3ysin(4y),dy. A fórmula geral é
integral e^aysin(by),dy = e^aya^2+b^2l(asin(by)-bcos(by)r)+C
Aqui a=3 e b=4, logo
integral e^3ysin(4y),dy = e^3y3^2+4^2l(3sin(4y)-4cos(4y)r)+C = e^3y25l(3sin(4y)-4cos(4y)r)+C

Passo 3

Agora aplicamos os limites de y=0 a y=tfracpi4. Denotando a primitiva por F(y), temos
F(y)=e^3y25l(3sin(4y)-4cos(4y)r)
Calculamos
Fl(tfracpi4r) =e^3pi/425l(3sin(pi)-4cos(pi)r) =e^3pi/425l(0-4cdot(-1)r) =4,e^3pi/425,
F(0) =e^025l(3sin(0)-4cos(0)r) =125l(0-4cdot1r) =-425
Portanto,
integral0^pi4 e^3ysin(4y),dy =Fl(tfracpi4r)-F(0) =4,e^3pi/425-l(-425r) =425l(e^3pi/4+1r)

Resposta

integral0^pi4 e^3ysin(4y),dy =425l(e^3pi/4+1r)

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