Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral0^1 x^2 3^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x^2,3^x,dx
Como temos o produto de um polinômio em x e uma exponencial 3^x, vamos usar o método de integração por partes para obter a antiderivada, e em seguida avaliar nos limites de 0 a 1.

Passo 2

Começamos com a primeira integração por partes:
escolhemos
u = x^2, dv = 3^x,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral 3^x,dx = 3^xln 3
Aplicando
integral x^23^x,dx = u,v - integral v,du = x^23^xln 3 - integral 2x,3^xln 3,dx = x^23^xln 3 - 2ln 3integral x,3^x,dx

Passo 3

Agora fazemos a segunda integração por partes para
integral x,3^x,dx. Escolhemos
u = x, dv = 3^x,dx
para obter
du = dx, v = 3^xln 3
Logo
integral x,3^x,dx = x3^xln 3 - integral 3^xln 3,dx = x,3^xln 3 - 1ln 3integral 3^x,dx = x,3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta na expressão da antiderivada, temos
integral x^23^x,dx = x^23^xln 3 - 2ln 3gl(x,3^xln 3 - 3^x(ln 3)^2gr) = 3^x!l(x^2ln 3 - 2x(ln 3)^2 + 2(ln 3)^3r) + C

Passo 5

Para a integral definida, avaliamos de 0 a 1:
l[,3^xl(tfracx^2ln 3-tfrac2x(ln 3)^2+tfrac2(ln 3)^3r)r]0^1 = 3l(tfrac1ln 3-tfrac2(ln 3)^2+tfrac2(ln 3)^3r) - 1l(tfrac0ln 3-tfrac0(ln 3)^2+tfrac2(ln 3)^3r)
Isso dá
3ln 3-6(ln 3)^2+6(ln 3)^3 -2(ln 3)^3 = 3ln 3-6(ln 3)^2+4(ln 3)^3

Resposta

boxed3ln 3-6(ln 3)^2+4(ln 3)^3

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