Para a função f(x, y)=x^{3} y^{4} :
(a) Calcule a derivada direcional máxima no ponto (1,1)
(b) Em que direção ocorre esta derivada máxima?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^3y^4 e pede (a) o valor da derivada direcional máxima em (1,1) e (b) a direção em que ela ocorre. Para isso vamos usar o conceito de gradiente e a propriedade de que a derivada direcional máxima num ponto é o módulo do gradiente nesse ponto, e ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f aplicando derivadas parciais:
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) = \bigl(3x^2y^4,\;4x^3y^3\bigr).

Passo 3

Avaliamos o gradiente em (1,1):
\nabla f(1,1) = \bigl(3\cdot1^2\cdot1^4,\;4\cdot1^3\cdot1^3\bigr) = (3,4).

Passo 4

O valor da derivada direcional máxima é o módulo de \nabla f(1,1):
\|\nabla f(1,1)\| = \sqrt{3^2+4^2} = 5.

Passo 5

A direção em que ocorre essa derivada máxima é a direção do gradiente, ou seja, o versor de (3,4):
\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).

Resposta

(a) 5
(b) Na direção do vetor unitário \bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\bigr).

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