Considere um arranjo de cargas elétricas pontuais que esteja em equilíbrio. Isto é, cada carga
é mantida em equilíbrio pelas forças de Coulomb exercidas pelas demais cargas do sistema. Mostre que o equilíbrio é instável. Para isso considere um das cargas, que está localizada, digamos, no ponto
. O equilíbrio estável dessa carga requereria que, ao deslocá-la ligeiramente da posição
, a força devido ao campo elétrico produzido pelas demais cargas deixasse de se anular e fosse direcionada para a posição de equilíbrio, de modo a trazer a carga de volta. Se fosse assim, pense como seriam as linhas do campo elétrico produzido pelas demais cargas nas vizinhaças de
e, invocando a lei de Gauss, mostre que isto seria impossível.
é mantida em equilíbrio pelas forças de Coulomb exercidas pelas demais cargas do sistema. Mostre que o equilíbrio é instável. Para isso considere um das cargas, que está localizada, digamos, no ponto
Passo 1
O enunciado fala de um arranjo de cargas pontuais em equilíbrio sob as forças de Coulomb, e pede pra mostrar que esse equilíbrio é instável usando o conceito de linhas de campo e a lei de Gauss. A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente campo elétrico e a divergência do campo (lei de Gauss). Vamos precisar entender definição de equilíbrio estável e a relação
.
Passo 2
Para que uma posição
seja de equilíbrio estável, se a gente deslocar uma carga um tiquinho pra perto de
, a força (ou seja, o campo) resultante deve apontar de volta pra
. Em outras palavras, nas vizinhanças de
o campo teria que direcionar as linhas de força para o ponto de equilíbrio.
Passo 3
Se as linhas de campo estivessem convergindo num ponto, seria como um “poço” de campo, puxando a carga de volta. Isso implica que a divergência do campo nessa região seria negativa, já que
mede saída líquida de linhas de campo.
Passo 4
Porém, pela lei de Gauss na forma diferencial temos
Como estamos analisando o campo produzido pelas demais cargas em torno de
, não existe carga extra nessa pequena região (
ali). Logo
Passo 5
Isso significa que não pode haver região onde
, ou seja, não existe “poço” de linhas de campo que puxe a carga de volta para
. A suposição de equilíbrio estável leva a uma contradição com a lei de Gauss. Portanto, o equilíbrio é necessariamente instável.
Resposta
O equilíbrio das cargas pontuais sob forças de Coulomb é instável.