Considere um arranjo de cargas elétricas pontuais que esteja em equilíbrio. Isto é, cada carga
é mantida em equilíbrio pelas forças de Coulomb exercidas pelas demais cargas do sistema. Mostre que o equilíbrio é instável. Para isso considere um das cargas, que está localizada, digamos, no ponto r0. O equilíbrio estável dessa carga requereria que, ao deslocá-la ligeiramente da posição r0, a força devido ao campo elétrico produzido pelas demais cargas deixasse de se anular e fosse direcionada para a posição de equilíbrio, de modo a trazer a carga de volta. Se fosse assim, pense como seriam as linhas do campo elétrico produzido pelas demais cargas nas vizinhaças de r0 e, invocando a lei de Gauss, mostre que isto seria impossível.

Passo 1

O enunciado fala de um arranjo de cargas pontuais em equilíbrio sob as forças de Coulomb, e pede pra mostrar que esse equilíbrio é instável usando o conceito de linhas de campo e a lei de Gauss. A matéria envolvida é eletrostática, mais especificamente campo elétrico e a divergência do campo (lei de Gauss). Vamos precisar entender definição de equilíbrio estável e a relação nablacdotE=rho/varepsilon0.

Passo 2

Para que uma posição vec r0 seja de equilíbrio estável, se a gente deslocar uma carga um tiquinho pra perto de vec r0+de<avec r, a força (ou seja, o campo) resultante deve apontar de volta pra vec r0. Em outras palavras, nas vizinhanças de vec r0 o campo teria que direcionar as linhas de força para o ponto de equilíbrio.

Passo 3

Se as linhas de campo estivessem convergindo num ponto, seria como um “poço” de campo, puxando a carga de volta. Isso implica que a divergência do campo nessa região seria negativa, já que nablacdotE mede saída líquida de linhas de campo.

Passo 4

Porém, pela lei de Gauss na forma diferencial temos
nablacdotE = rhovarepsilon0
Como estamos analisando o campo produzido pelas demais cargas em torno de vec r0, não existe carga extra nessa pequena região ( rho=0 ali). Logo
nablacdotE = 0

Passo 5

Isso significa que não pode haver região onde nablacdotE<0, ou seja, não existe “poço” de linhas de campo que puxe a carga de volta para vec r0. A suposição de equilíbrio estável leva a uma contradição com a lei de Gauss. Portanto, o equilíbrio é necessariamente instável.

Resposta

O equilíbrio das cargas pontuais sob forças de Coulomb é instável.

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