Exercício 5. Calcular
, onde:
, onde
é a região delimitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região delimitada pela curva
O conteúdo necessário aqui é mudança de variáveis (translação) e o uso da simetria para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos entender a forma de
completando o quadrado em
:
Portanto
é o disco de raio
centrado em
.
Passo 3
Para explorar a simetria, fazemos a translação
Nesse sistema, o disco vira
e
. Como é só uma translação, o jacobiano vale
e
Passo 4
Separamos a integral em duas partes:
Pela simetria do disco em torno do eixo
,
Já a área do disco de raio
é
Passo 5
Somando as partes, obtemos