Exercício 5. Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=x, onde R é a região delimitada por x^2+y^2-4 x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,dx,dy
onde R é a região delimitada pela curva
x^2+y^2-4x=0
O conteúdo necessário aqui é mudança de variáveis (translação) e o uso da simetria para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos entender a forma de R completando o quadrado em x:
x^2-4x+y^2=0 ;;Longrightarrow;; (x-2)^2-4+y^2=0 ;;Longrightarrow;; (x-2)^2+y^2=4
Portanto R é o disco de raio 2 centrado em (2,0).

Passo 3

Para explorar a simetria, fazemos a translação
u = x-2, v = y
Nesse sistema, o disco vira
u^2+v^2<= 4
e x=u+2. Como é só uma translação, o jacobiano vale 1 e
integral duplaR x,dx,dy = integral duplau^2+v^2<=4(u+2),du,dv

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral duplau^2+v^2<=4u,du,dv e 2integral duplau^2+v^2<=41,du,dv
Pela simetria do disco em torno do eixo v,
integral duplau^2+v^2<=4u,du,dv = 0
Já a área do disco de raio 2 é
integral duplau^2+v^2<=41,du,dv = picdot2^2=4pi

Passo 5

Somando as partes, obtemos
integral duplaR x,dx,dy = 0 + 2cdot 4pi = 8pi

Resposta

8pi

Exercícios relacionados