Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de \mathrm{R} 60 milhares e desvio padrão deã\mathrm{R} 10 milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
ser maior que \mathrm{R} 75$ milhares?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: a arrecadação é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu = 60 (em milhares de reais).
  • Informação 2: o desvio padrão é \sigma = 10 (em milhares de reais).
  • Pergunta: qual a probabilidade de a arrecadação ser maior que \mathrm{R}\,75 milhares? Ou seja, calcular P(X>75) onde X é a arrecadação.

Passo 2

Entendendo o objetivo e a estratégia básica (sem entrar em contas ainda).
Queremos calcular P(X>75) para X normalmente distribuída com média e desvio dados. A forma padrão de fazer isso é transformar X numa variável normal padrão Z (média 0 e desvio 1) e usar a tabela da normal padrão (função de distribuição acumulada \Phi). Vou explicar cada peça com calma.

Passo 3

O que é a normal padrão e por que padronizar?
  • A normal padrão é a distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1. Denotamos por Z e sua função de distribuição acumulada por \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Para qualquer normal X\sim N(\mu,\sigma^2) podemos transformar em Z por padronização. A padronização faz as contas universais: converte qualquer normal em uma única tabela conhecida.
A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (arrecadação),
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • Z é a nova variável que segue N(0,1).

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso ponto 75.
Queremos P(X>75). Padronizando:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-60}{10}.
Para o valor X=75 temos o escore z:
z=\frac{75-60}{10}=\frac{15}{10}=1{,}5.

Passo 5

Relacionando P(X>75) com a função \Phi da normal padrão.
Usando a padronização,
P(X>75)=P\!\left(\frac{X-60}{10}> \frac{75-60}{10}\right)=P(Z>1{,}5).
A tabela da normal padrão geralmente dá \Phi(z)=P(Z\le z). Como queremos P(Z>1{,}5), usamos o complementar:
P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).

Passo 6

Lendo a tabela da normal padrão (explicação de como achar o número).
  • A tabela fornece \Phi(z) para valores de z. Para z=1{,}50 (mesmo que escrevamos 1{,}5), a tabela padrão dá \Phi(1{,}5)=0{,}9332.
  • Isto significa que P(Z\le 1{,}5)=0{,}9332, isto é, cerca de 93{,}32\% da distribuição está abaixo de z=1{,}5.

Passo 7

Calculando a probabilidade buscada.
Usando o valor da tabela:
P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668.
Em porcentagem, isso é aproximadamente 6{,}68\%.

Passo 8

Interpretação final (para te dar segurança na prova).
Isso significa que, com média \mathrm{R}\,60 milhares e desvio padrão \mathrm{R}\,10 milhares, a chance de a arrecadação ultrapassar \mathrm{R}\,75 milhares é cerca de 6{,}68\%. Em termos práticos: é um evento relativamente raro (um pouco mais de 1 desvio e meio acima da média).

Resposta

\,P(X>75)=0{,}0668\approx6{,}68\%

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