Considere que a arrecadação de tributos de um município distribui-se normalmente com média de
60
\mathrm{R}
milhares. Qual a probabilidade da arrecadação:
ser maior que
75$ milhares?
ser maior que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: a arrecadação é uma variável aleatória com distribuição normal de média
(em milhares de reais). - Informação 2: o desvio padrão é
(em milhares de reais). - Pergunta: qual a probabilidade de a arrecadação ser maior que
milhares? Ou seja, calcular onde é a arrecadação.
Passo 2
Entendendo o objetivo e a estratégia básica (sem entrar em contas ainda).
Queremos calcular
para
normalmente distribuída com média e desvio dados. A forma padrão de fazer isso é transformar
numa variável normal padrão
(média 0 e desvio 1) e usar a tabela da normal padrão (função de distribuição acumulada
). Vou explicar cada peça com calma.
Passo 3
O que é a normal padrão e por que padronizar?
- A normal padrão é a distribuição normal com média
e desvio padrão . Denotamos por e sua função de distribuição acumulada por . - Para qualquer normal
podemos transformar em por padronização. A padronização faz as contas universais: converte qualquer normal em uma única tabela conhecida.
A fórmula de padronização é:
Aqui:
-
é a variável original (arrecadação), -
é a média, -
é o desvio padrão, -
é a nova variável que segue .
Passo 4
Aplicando a padronização ao nosso ponto
.
Queremos
. Padronizando:
Para o valor
temos o escore
:
Passo 5
Relacionando
com a função
da normal padrão.
Usando a padronização,
A tabela da normal padrão geralmente dá
. Como queremos
, usamos o complementar:
Passo 6
Lendo a tabela da normal padrão (explicação de como achar o número).
- A tabela fornece
para valores de . Para (mesmo que escrevamos ), a tabela padrão dá . - Isto significa que
, isto é, cerca de da distribuição está abaixo de .
Passo 7
Calculando a probabilidade buscada.
Usando o valor da tabela:
Em porcentagem, isso é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação final (para te dar segurança na prova).
Isso significa que, com média
milhares e desvio padrão
milhares, a chance de a arrecadação ultrapassar
milhares é cerca de
. Em termos práticos: é um evento relativamente raro (um pouco mais de 1 desvio e meio acima da média).