Uma prova de estatística apresentou notas normalmente distribuídas, com média igual a 75 pontos e desvio padrão igual a 8 pontos. Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, ter nota:
menor que 70 ;

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de notas que é normal com média igual a \mu=75 pontos e desvio padrão igual a \sigma=8 pontos. A pergunta é claramente: encontrar a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter nota menor que 70. Ou seja, calcular
P(X<70),
onde X é a nota do aluno distribuída normalmente com média \mu=75 e desvio padrão \sigma=8.

Passo 2

Explicando a ideia básica (de um jeito tranquilo): a distribuição normal é aquela curva em “sino” centrada na média. Para calcular probabilidades do tipo P(X<\text{algo}) usamos a padronização — transformamos X numa variável normal padrão Z que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Isso serve para comparar qualquer valor com a média em unidades de desvio padrão (ou seja, “quantos desvios padrão abaixo/acima da média” o valor está).

Passo 3

Aplicando a padronização ao valor X=70:
Z=\frac{70-75}{8}=\frac{-5}{8}=-0,625.
Interpretação: a nota 70 está 0,625 desvios padrão abaixo da média. Então
P(X<70)=P\big(Z<-0,625\big).

Passo 4

Agora precisamos da função de distribuição acumulada da normal padrão. Denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z). Como a normal padrão é simétrica em torno de 0, vale a identidade
\Phi(-z)=1-\Phi(z)
para qualquer z\ge0. Então, com z=0,625,
P\big(Z<-0,625\big)=\Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625).

Passo 5

Para obter \Phi(0,625) usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora/algoritmo). A tabela normalmente dá valores para duas casas decimais. Na tabela temos:
\Phi(0,62)=0,7324,\qquad \Phi(0,63)=0,7357.
O valor 0,625 está exatamente no meio entre 0,62 e 0,63, portanto podemos interpolar linearmente (ou tirar a média) para aproximar:
\Phi(0,625)\approx\frac{0,7324+0,7357}{2}=0,73405.

Passo 6

Usando a identidade de simetria:
P(X<70)=\Phi(-0,625)=1-\Phi(0,625)\approx 1-0,73405=0,26595.
Arredondando para uma precisão comum:
P(X<70)\approx0,2660,
o que corresponde a aproximadamente 26,60\%. Interpretação final: cerca de 26,6\% dos alunos terão nota menor que 70.

Resposta

0,2660
26,60\%

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