Uma prova de estatística apresentou notas normalmente distribuídas, com média igual a 75 pontos e desvio padrão igual a 8 pontos. Qual a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente, ter nota:
menor que 70 ;
menor que 70 ;
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de notas que é normal com média igual a
pontos e desvio padrão igual a
pontos. A pergunta é claramente: encontrar a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ter nota menor que
. Ou seja, calcular
onde
é a nota do aluno distribuída normalmente com média
e desvio padrão
.
Passo 2
Explicando a ideia básica (de um jeito tranquilo): a distribuição normal é aquela curva em “sino” centrada na média. Para calcular probabilidades do tipo
usamos a padronização — transformamos
numa variável normal padrão
que tem média
e desvio padrão
. A fórmula de padronização é
onde
é a média e
é o desvio padrão. Isso serve para comparar qualquer valor com a média em unidades de desvio padrão (ou seja, “quantos desvios padrão abaixo/acima da média” o valor está).
Passo 3
Aplicando a padronização ao valor
:
Interpretação: a nota
está
desvios padrão abaixo da média. Então
Passo 4
Agora precisamos da função de distribuição acumulada da normal padrão. Denotamos por
. Como a normal padrão é simétrica em torno de
, vale a identidade
para qualquer
. Então, com
,
Passo 5
Para obter
usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora/algoritmo). A tabela normalmente dá valores para duas casas decimais. Na tabela temos:
O valor
está exatamente no meio entre
e
, portanto podemos interpolar linearmente (ou tirar a média) para aproximar:
Passo 6
Usando a identidade de simetria:
Arredondando para uma precisão comum:
o que corresponde a aproximadamente
. Interpretação final: cerca de
dos alunos terão nota menor que
.