Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1) de massa reduzida mu, a função radial deste elétron, Rn, l(r) quando l=n-1 (valor máximo permitido de l) é dada por Rn, n-1(r)=(2n a0)^(2 n+1)2 1raiz(2 n)! r^n-1 e^-r / n a0. Para o caso em que n=4, qual é o valor do raio médio em unidades de a0 para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade a0 na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral integral0^+infty r^m e^-r / alpha d r=m!alpha^m+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre o átomo de Hidrogênio, especificamente queremos encontrar o raio médio do elétron quando o número quântico principal é $ n = 4 $. Isso envolve conceitos de funções de onda radiais na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos precisar da função radial dada e usar integrais para calcular a média desse raio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o raio médio $ \langle r \rangle $ de um elétron em um átomo. A fórmula geral é:
lang<= r rang<=
Aqui, $ R_{n,l}® $ é a função radial, $ r $ é a distância do elétron ao núcleo, e $ a_0 $ é o raio de Bohr, que é a unidade que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função radial fornecida na fórmula. Para $ n = 4 $ e $ l = 3 $, a função radial é:
n = 4
Vamos simplificar isso um pouco antes de substituir na integral.

Passo 4

Substituindo $ R_{4,3}® $ na expressão do raio médio:
R4,3(r)
Simplificando os termos:
lang<= r rang<= = integral0^+infty [ (24 a0)^92 1raiz8! , r^3 e^-r / (4 a0) ]^2 , r^3 , dr

Passo 5

Agora, vamos usar a dica que foi dada sobre a integral:
integral0^+infty r^m e^-r / alpha , dr = m! , alpha^m+1
Aqui, $ m = 6 $ e $ \alpha = 2 a_{0} $. Então:
m = 6
Substituindo de volta na expressão do raio médio:
alpha = 2 a0
Simplificando os fatores:
integral0^+infty r^6 e^-r / (2 a0) , dr = 6! , (2 a0)^7
Calculando os números:
lang<= r rang<= = (24 a0)^9 18! cdot 720 cdot (2 a0)^7
Simplificando:
lang<= r rang<= = (12 a0)^9 72040320 cdot 128 a0^7
Mas percebemos que houve um erro nos expoentes. Corrigindo, o resultado final após simplificar os $ a_{0} $:
lang<= r rang<= = 1512 a0^9 cdot 156 cdot 128 a0^7 = 128512 cdot 56 cdot 1a0^2

Resposta

O raio médio para o elétron com $ n = 4 $ é 14.

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