Considere um átomo de Hidrogênio (
) de massa reduzida
, a função radial deste elétron,
quando
(valor máximo permitido de
) é dada por
. Para o caso em que
, qual é o valor do raio médio em unidades de
para este elétron? [Não é necessário apresentar a unidade
na resposta, mas apenas o valor numérico.]
Dica: Lembre-se que a integral
Dica: Lembre-se que a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre o átomo de Hidrogênio, especificamente queremos encontrar o raio médio do elétron quando o número quântico principal é $ n = 4 $. Isso envolve conceitos de funções de onda radiais na Mecânica Quântica. Para resolver, vamos precisar da função radial dada e usar integrais para calcular a média desse raio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o raio médio $ \langle r \rangle $ de um elétron em um átomo. A fórmula geral é:
Aqui, $ R_{n,l}® $ é a função radial, $ r $ é a distância do elétron ao núcleo, e $ a_0 $ é o raio de Bohr, que é a unidade que vamos usar.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função radial fornecida na fórmula. Para $ n = 4 $ e $ l = 3 $, a função radial é:
Vamos simplificar isso um pouco antes de substituir na integral.
Passo 4
Substituindo $ R_{4,3}® $ na expressão do raio médio:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos usar a dica que foi dada sobre a integral:
Aqui, $ m = 6 $ e $ \alpha = 2 a_{0} $. Então:
Substituindo de volta na expressão do raio médio:
Simplificando os fatores:
Calculando os números:
Simplificando:
Mas percebemos que houve um erro nos expoentes. Corrigindo, o resultado final após simplificar os $ a_{0} $:
Resposta
O raio médio para o elétron com $ n = 4 $ é 14.