Considere um átomo de Hidrogênio ( Z=1 ) e o modelo de Bohr, responda:
A frequência (clássica) de revolução do elétron do átomo de hidrogênio é dada por f=(K e^2m)^1 / 2 12 pi r^3 / 2, onde r é o raio da órbita. Mostre que o período de rotação de um elétron na n -ésima orbita do modelo de Bohr pode ser escrito na forma:
T=alpha n^beta c^gamma RH^de
Encontre os valores numéricos de alpha, beta, gamma e de e determine o valor do período (em segundos) de rotação para o elétron na orbita com n=5.

Passo 1

Blz, então o enunciado pede pra gente usar o modelo de Bohr do átomo de H (Z=1) pra achar o período de rotação do elétron em função de n, c e R_H, mostrando que
\displaystyle T=\alpha,n{\beta},c{\gamma},R_H^{\delta}
e descobrir numericamente α, β, γ, δ e ainda calcular T quando n=5.
Conteúdo: Bohr, frequência de revolução f clássica, raio da órbita r_n, inversão pra período T, e a relação com a constante de Rydberg R_H e a velocidade da luz c.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a frequência clássica de revolução é
f ;=;1T;=;v2pi r
e, da força centrípeta v = raize^24pivarepsilon0,m,r ;;Longrightarrow;; f = 12pi,r,raize^24pivarepsilon0,m,r = e4piraizpivarepsilon0,m;1r^3/2 , tiramos
rn = a0,n^2 com a0 = 4pivarepsilon0,hbar^2m,e^2
No modelo de Bohr, o raio da n-ésima órbita é
rn^3/2 = l(a0,n^2r)^3/2 = a0^3/2,n^3 = l(4pivarepsilon0,hbar^2m,e^2r)^3/2 n^3,
Substituindo f = e4piraizpivarepsilon0,m, 1a0^3/2,n^3 = m,e^432pi^3,varepsilon0^2,hbar^3,1n^3 em :
então

Passo 3

Agora usamos a definição da constante de Rydberg para hidrogênio (Z=1):
RH = m,e^48,varepsilon0^2,h^3,c e h = 2pihbar
Logo
RH,c = m,e^48,varepsilon0^2,(2pihbar)^3;c = m,e^464,pi^3,varepsilon0^2,hbar^3
Comparando com nosso f = m,e^432pi^3varepsilon0^2hbar^31n^3 = 2,m,e^464pi^3varepsilon0^2hbar^3,1n^3 = 2,RH,c,1n^3 :
T = 1f = 12,RH,c;n^3 = l(tfrac12r),n^3,c^-1,RH^-1
Então o período é

Passo 4

Daí tiramos os expoentes e a constante:
alpha = tfrac12, beta = 3, gamma = -1, de
Para n=5, basta pôr valores numéricos:
T(5) = 5^32,c,RH = 1252,(3.00times10^8rm,m/s),(1.097times10^7rm,m^-1) approx 1.9times10^-14rm;s

Resposta

α = 1/2
β = 3
γ = –1
δ = –1
T(n=5) ≃ 1,9×10⁻¹⁴ s

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