Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a)
;
b)
, para
uma partição do espaço amostral
;
c)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d)
; para
, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras
) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0,
e 0,3 ;
a)
b)
c)
d)
( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0,
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades de vitória de três candidatos:
,
e
. Pede-se identificar qual dos axiomas/propriedades
foi violado nessa descrição.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Probabilidades atribuídas:
, , . - Implícito no contexto: os eventos “candidato 1 vence”, “candidato 2 vence” e “candidato 3 vence” formam uma partição do espaço amostral (ou seja, são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço — exatamente um dos três ocorrerá).
Passo 2
Vou calcular a soma das probabilidades dos três eventos, porque a hipótese de partição implica que a soma deve obedecer a uma das propriedades dadas. Calcule:
Portanto a soma das probabilidades informadas é
.
Passo 3
Relembrando rapidamente e de forma prática o que dizem os axiomas/propriedades relevantes:
-
: . (Valor da probabilidade do evento impossível.) -
: Se é uma partição de , então . (Soma das probabilidades de todos os resultados mutuamente exclusivos e exaustivos = 1.) -
: para todo evento . (Probabilidades não podem ser negativas.) -
: para todo evento . (Probabilidade máxima de um evento é 1.)
Passo 4
Verifico cada axioma frente aos números dados:
-
: todos os valores , , são não-negativos, logo não foi violado. -
: cada probabilidade individual é menor ou igual a (por exemplo ), logo não foi violado. -
: não há informação que contradiga ; isso não é o caso aqui. -
: como os três eventos formam uma partição, a soma deveria ser , mas encontramos . Logo é violada.
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para prova: quando vários resultados mutuamente exclusivos e exaustivos têm probabilidades atribuídas, sempre some-as — o resultado deve ser
. Se a soma for diferente de
, a atribuição viola a propriedade da partição (letra
). Neste caso a soma deu
, portanto está incorreta.
Resposta
(b)