Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) As probabilidades para cada um dos 3 candidatos a prefeito de um certo município serem eleitos são, respectivamente: 0, 4 ; 0,5 ; e 0,3 ;

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades de vitória de três candidatos: 0,4, 0,5 e 0,3. Pede-se identificar qual dos axiomas/propriedades \mathbf{a,b,c,d} foi violado nessa descrição.
Informações relevantes fornecidas:
  • Probabilidades atribuídas: P[A_1]=0,4, P[A_2]=0,5, P[A_3]=0,3.
  • Implícito no contexto: os eventos “candidato 1 vence”, “candidato 2 vence” e “candidato 3 vence” formam uma partição do espaço amostral (ou seja, são mutuamente exclusivos e cobrem todo o espaço — exatamente um dos três ocorrerá).

Passo 2

Vou calcular a soma das probabilidades dos três eventos, porque a hipótese de partição implica que a soma deve obedecer a uma das propriedades dadas. Calcule:
0,4 + 0,5 + 0,3 = 1,2.
Portanto a soma das probabilidades informadas é 1,2.

Passo 3

Relembrando rapidamente e de forma prática o que dizem os axiomas/propriedades relevantes:
  • \mathbf{a}: P[\emptyset]=0. (Valor da probabilidade do evento impossível.)
  • \mathbf{b}: Se A_1,\dots,A_n é uma partição de \Omega, então \sum_{i=1}^n P[A_i]=1. (Soma das probabilidades de todos os resultados mutuamente exclusivos e exaustivos = 1.)
  • \mathbf{c}: P[A]\ge 0 para todo evento A. (Probabilidades não podem ser negativas.)
  • \mathbf{d}: P[A]\le 1 para todo evento A. (Probabilidade máxima de um evento é 1.)

Passo 4

Verifico cada axioma frente aos números dados:
  • \mathbf{c}: todos os valores 0,4, 0,5, 0,3 são não-negativos, logo \mathbf{c} não foi violado.
  • \mathbf{d}: cada probabilidade individual é menor ou igual a 1 (por exemplo 0,5\le 1), logo \mathbf{d} não foi violado.
  • \mathbf{a}: não há informação que contradiga P[\emptyset]=0; isso não é o caso aqui.
  • \mathbf{b}: como os três eventos formam uma partição, a soma deveria ser 1, mas encontramos \,1,2. Logo \mathbf{b} é violada.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para prova: quando vários resultados mutuamente exclusivos e exaustivos têm probabilidades atribuídas, sempre some-as — o resultado deve ser 1. Se a soma for diferente de 1, a atribuição viola a propriedade da partição (letra \mathbf{b}). Neste caso a soma deu 1,2>1, portanto está incorreta.

Resposta

(b)

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