Considere os axiomas e propriedades de probabilidade dadas de a) ad) a seguir:
a) P[\emptyset]=0;
b) \sum_{i=1}^{n} P\left[A_{i}\right]=1, para A_{1}, \cdots, A_{n} uma partição do espaço amostral \Omega;
c) P[A] \geq 0; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral;
d) P[A] \leq 1; para A, um evento aleatório associado ao espaço amostral.
Considere as afirmações acerca de probabilidades abaixo. Em cada uma delas um axioma ou propriedade de probabilidade apresentados acima (letras \mathbf{a , b , c , d} ) foi violado. Indique qual dos axiomas ou propriedades dadas acima foi violada indicando entre os parênteses a letra correspondente.
( ) A probabilidade de um novo restaurante ser lucrativo é igual a 0,35 , mas a probabilidade de dar prejuízo é o triplo;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade do novo restaurante ser lucrativo é 0,35.
  • A probabilidade de dar prejuízo é o triplo da probabilidade de ser lucrativo.
A tarefa é: identificar qual dos axiomas/propriedades listados (a, b, c, d) foi violado nessa afirmação.

Passo 2

Vamos traduzir a informação numérica em símbolos. Seja L o evento “restaurante é lucrativo” e D o evento “restaurante dá prejuízo”. O enunciado diz:
P[L]=0,35
e
P[D]=3\cdot P[L].

Passo 3

Calculemos P[D] a partir do dado acima:
P[D]=3\cdot 0,35=1,05.

Passo 4

Recordando os axiomas/propriedades relevantes:
  • A propriedade \mathbf{c} diz que \,P[A]\ge 0 para todo evento A (probabilidades não são negativas).
  • A propriedade \mathbf{d} diz que \,P[A]\le 1 para todo evento A (probabilidades não podem ser maiores que 1).
  • A propriedade \mathbf{b} trata de partições: para uma partição \{A_i\} do espaço amostral vale \sum_i P[A_i]=1.

Passo 5

Comparando o valor encontrado com os axiomas:
P[D]=1,05>1.
Isso viola diretamente a propriedade \mathbf{d}, pois uma probabilidade não pode exceder 1. (Observação: se L e D fossem uma partição exaustiva e mutuamente exclusiva, também veríamos que P[L]+P[D]=0,35+1,05=1,40>1, o que contradiz a propriedade \mathbf{b}; mas a violação básica e imediata aqui é que uma probabilidade foi atribuída maior que 1, portanto a propriedade violada é \mathbf{d}.)

Resposta

(d)

Exercícios relacionados