Considere A B=(1,0,1), A C= (1,2,3) e A D=(0,1,5).
a) Calcule a área do triângulo A B C.
b) Calcule a distância de B à reta over<=ftarrowA C, isto é, encontre a altura do triângulo ABC relativa ao vértice B.
c) Calcule o volume do paralelepípedo com arestas A B, A C e A D.
d) Calcule a distância do ponto D ao plano que contém os pontos A, B e C.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
AB=(1,0,1), AC=(1,2,3) e AD=(0,1,5).
Precisamos usar:
– Produto vetorial para área de triângulo e para obter normal ao plano ABC.
– Fórmula da distância de um ponto a uma reta via área de paralelogramo.
– Produto misto (escalar triplo) para o volume do paralelepípedo.
– Fórmula da distância de um ponto a um plano via projeção sobre a normal.

Passo 2

Vamos calcular a área do triângulo ABC. Primeiro obtemos o produto vetorial
ABtimesAC = i&j&k 1&0&1 1&2&3 =(-2,,-2,,2)
O módulo desse vetor é
l|ABtimesACr| =raiz(-2)^2+(-2)^2+2^2 =raiz12 =2raiz3
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo,
ÁreaABC =tfrac12l|ABtimesACr| =raiz3 Á

Passo 3

Para a distância de B à reta AC, usamos
dB,;AC =l|ABtimesACr||AC|
Já temos |ABtimesAC|=2raiz3. Além disso
|AC| =raiz1^2+2^2+3^2 =raiz14
Logo
dB,;AC =2raiz3raiz14 =raiz67

Passo 4

O volume do paralelepípedo com arestas AB,AC,AD é o valor absoluto do produto misto
V =l|ABcdotl(ACtimesADr)r|
Calculamos
ACtimesAD = i&j&k 1&2&3 0&1&5 =(7,,-5,,1),
então
ABcdot(ACtimesAD) =(1,0,1)cdot(7,-5,1) =7+0+1 =8
Portanto
V=|8|=8

Passo 5

Para a distância do ponto D ao plano ABC, usamos a normal
n=ABtimesAC=(-2,-2,2) com |n|=2raiz3, e calculamos
dD,;ABC =l|ADcdotnr||n|
Como AD=(0,1,5),
ADcdotn =(0,1,5)cdot(-2,-2,2) =-2+10=8
Logo
dD,;ABC =|8|2raiz3 =4raiz3

Resposta

a) raiz3
b) raiztfrac67
c) 8
d) tfrac4raiz3

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