Sejam A, B e C pontos distintos e não colineares do plano. Seja G o baricentro do triângulo A B C e sejam A^prime, B^prime e C^prime os pontos simétricos dos vértices A, B e C, respectivamente, com respeito ao ponto G. Mostre que os triângulos A B C e A^prime B^prime C^prime são congruentes, possuem o mesmo baricentro e as medianas correspondentes são colineares.

Passo 1

O enunciado fala de um triângulo ABC com baricentro G (ponto onde se encontram as três medianas) e define A', B', C' como os simétricos de A, B, C em relação a G. Precisamos mostrar três coisas:
  1. triang<= A'B'C' é congruente a triang<= ABC.
  2. O baricentro de A'B'C' é também G.
  3. Cada mediana de ABC e sua correspondente em A'B'C' são colineares.
Vamos usar coordenadas vetoriais no plano e propriedades do baricentro para cumprir essas tarefas.

Passo 2

Expressamos G pelo vetor médio dos vértices e então as simetrias:
vec G = vec A + vec B + vec C3, vec A' = 2vec G - vec A, vec B' = 2vec G - vec B, vec C' = 2vec G - vec C
Agora, por exemplo, o lado B'C' tem vetor
B'C' = vec C' - vec B' = (2vec G - vec C) - (2vec G - vec B) = vec B - vec C = -,CB
Logo l|B'C'r| = |vec B - vec C| = |BC|. Análoga conclusão vale para os outros dois lados, e portanto triang<= A'B'C' é congruente a triang<= ABC por SSS.

Passo 3

Para ver que G é baricentro de A'B'C', notamos que em qualquer triângulo o baricentro é o ponto médio comum das três somas vetoriais dos vértices. Mas já temos
vec G = vec A + vec B + vec C3 Longrightarrow 2vec G = vec A + vec B + vec C
Somando as definições de vec A', vec B', vec C' resulta também
vec A' + vec B' + vec C' = (2vec G - vec A) + (2vec G - vec B) + (2vec G - vec C) = 6,vec G Longrightarrow vec G = vec A' + vec B' + vec C'3
Isso mostra que G é o baricentro de A'B'C'.

Passo 4

Seja D o ponto médio de BC, então vec D=(vec B+vec C)/2. Como G é baricentro em ABC, D, G, A são colineares. No outro triângulo, o ponto médio de B'C' é
vec D' = vec B' + vec C'2 = (2vec G-vec B)+(2vec G-vec C)2 = 2vec G - vec B+vec C2 = 2vec G - vec D
Logo D' é simétrico de D em relação a G, e portanto D, G, D' são colineares na mesma reta de A, G, A'. Dessa forma a mediana AD de ABC e a mediana A'D' de A'B'C' coincidem como reta. Analogamente pelas outras medianas.

Resposta

  1. triang<= A'B'C' é congruente a triang<= ABC por igualdade de comprimentos dos lados.
  2. O baricentro de A'B'C' é G.
  3. Cada par de medianas correspondentes é colinear (coincidem como reta).

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