Sejam e pontos distintos e não colineares do plano. Seja o baricentro do triângulo e sejam e os pontos simétricos dos vértices e , respectivamente, com respeito ao ponto . Mostre que os triângulos e são congruentes, possuem o mesmo baricentro e as medianas correspondentes são colineares.
Passo 1
O enunciado fala de um triângulo com baricentro (ponto onde se encontram as três medianas) e define , , como os simétricos de , , em relação a . Precisamos mostrar três coisas:
é congruente a .
O baricentro de é também .
Cada mediana de e sua correspondente em são colineares.
Vamos usar coordenadas vetoriais no plano e propriedades do baricentro para cumprir essas tarefas.
Passo 2
Expressamos pelo vetor médio dos vértices e então as simetrias:
Agora, por exemplo, o lado tem vetor
Logo . Análoga conclusão vale para os outros dois lados, e portanto triang<= A'B'C' é congruente a triang<= ABC por SSS.
Passo 3
Para ver que G é baricentro de A'B'C', notamos que em qualquer triângulo o baricentro é o ponto médio comum das três somas vetoriais dos vértices. Mas já temos
vec G = vec A + vec B + vec C3 Longrightarrow 2vec G = vec A + vec B + vec C
Somando as definições de vec A', vec B', vec C' resulta também
vec A' + vec B' + vec C' = (2vec G - vec A) + (2vec G - vec B) + (2vec G - vec C) = 6,vec G Longrightarrow vec G = vec A' + vec B' + vec C'3
Isso mostra que G é o baricentro de A'B'C'.
Passo 4
Seja D o ponto médio de BC, então vec D=(vec B+vec C)/2. Como G é baricentro em ABC, D, G, A são colineares. No outro triângulo, o ponto médio de B'C' é
vec D' = vec B' + vec C'2 = (2vec G-vec B)+(2vec G-vec C)2 = 2vec G - vec B+vec C2 = 2vec G - vec D
Logo D' é simétrico de D em relação a G, e portanto D, G, D' são colineares na mesma reta de A, G, A'. Dessa forma a mediana AD de ABC e a mediana A'D' de A'B'C' coincidem como reta. Analogamente pelas outras medianas.
Resposta
triang<= A'B'C' é congruente a triang<= ABC por igualdade de comprimentos dos lados.
O baricentro de A'B'C' é G.
Cada par de medianas correspondentes é colinear (coincidem como reta).