Suponha que u times v cdot w=2. Calcule:
(u+v+w) times(v+w) cdot v

Passo 1

O enunciado diz que utimesvcdotw=2 e pede o valor de
(u+v+w)times(v+w)cdotv
O conteúdo aqui é a propriedade de multilinearidade e de ciclos do produto misto (ou triplo) de vetores.

Passo 2

Usamos a distributividade do produto vetorial sobre a soma:
(u+v+w)times(v+w) = utimesv + utimesw + vtimesv + vtimesw + wtimesv + wtimesw
Em seguida, vamos dotar isso com v.

Passo 3

Observe que para qualquer a vale atimesa=0 e que (atimesb)cdota=0. Logo, ao fazer o produto escalar com v, sobram apenas:
l(utimeswr)cdotv,
pois os termos envolvendo vtimesv, wtimesw,
utimesvcdotv, vtimeswcdotv e wtimesvcdotv são todos zero.

Passo 4

Portanto
(u+v+w)times(v+w)cdotv = (utimesw)cdotv
Agora usamos a propriedade cíclica do produto misto:
utimesvcdotw = vtimeswcdotu = wtimesucdotv =2
Mas note que utimesw = -,wtimesu.

Passo 5

Assim
(utimesw)cdotv = -,(wtimesu)cdotv = -2

Resposta

-2

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