Determine a solução do problema de valor inicial dado.
12.
12.
Passo 1
O problema de valor inicial é
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
, com raízes
. Logo
Passo 3
Para a parte particular, o termo forçante é
. Como
não é solução da homogênea, propomos
Calculamos
Passo 4
Substituindo em
obtemos
onde
. Logo
Como
e
, isso dá
Igualando coeficientes:
Passo 5
A solução geral é
Para achar
, usamos as condições iniciais. Primeiro
Depois
Em
vem