Considere
e
sequências de números reais não-negativos tais que as séries
convergem. Mostre que a série
converge.
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências
e
de números reais não-negativos tais que as séries
convergem. Queremos mostrar que a série
também converge. O conteúdo principal aqui é aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.
Passo 2
Lembremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso discreto: para quaisquer seqüências reais
e
temos, para todo
,
Passo 3
Aplicando essa desigualdade às nossas seqüências
e
, obtemos para todo
:
Passo 4
Como
e
convergem, existem constantes
e
tais que
Logo, para todo
,
isto é, as somas parciais da série
são limitadas por uma constante finita.
Passo 5
Além disso, como
, as somas parciais
formam uma sequência monótona crescente e limitada superiormente por . Pelo Teorema da Convergência Monótona,
converge quando
.
formam uma sequência monótona crescente e limitada superiormente por
Resposta
A série
converge.