Considere \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) sequências de números reais não-negativos tais que as séries \sum a_{n}^{2} \mathrm{e} \sum b_{n}^{2} convergem. Mostre que a série \sum a_{n} b_{n} converge.

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências \bigl(a_{n}\bigr) e \bigl(b_{n}\bigr) de números reais não-negativos tais que as séries
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}
convergem. Queremos mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}
também converge. O conteúdo principal aqui é aplicar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.

Passo 2

Lembremos a desigualdade de Cauchy–Schwarz no caso discreto: para quaisquer seqüências reais \bigl(x_{n}\bigr) e \bigl(y_{n}\bigr) temos, para todo N,
\sum_{n=1}^{N}x_{n}y_{n} \le \Bigl(\sum_{n=1}^{N}x_{n}^{2}\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n=1}^{N}y_{n}^{2}\Bigr)^{1/2}.

Passo 3

Aplicando essa desigualdade às nossas seqüências x_{n}=a_{n}\ge0 e y_{n}=b_{n}\ge0, obtemos para todo N:
\sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n} \le \Bigl(\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}\Bigr)^{1/2}.

Passo 4

Como \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, existem constantes A e B tais que
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}=A<\infty, \quad \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}^{2}=B<\infty.
Logo, para todo N,
\sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n} \le A^{1/2}\,B^{1/2},
isto é, as somas parciais da série \sum a_{n}b_{n} são limitadas por uma constante finita.

Passo 5

Além disso, como a_{n}b_{n}\ge0, as somas parciais \displaystyle S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n}
formam uma sequência monótona crescente e limitada superiormente por A^{1/2}B^{1/2}. Pelo Teorema da Convergência Monótona, S_{N} converge quando N\to\infty.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} converge.

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