Seja \left(a_{n}\right) uma sequência de números reais tal que a_{n} \geq 0 e \sum a_{n} converge. Mostre que \sum a_{n} / n é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência (a_n) com a_n\ge0 e tal que
\sum_{n=1}^{\infty}a_n
é convergente. Precisamos mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n}
também converge. Para isso, vamos recorrer à soma por partes (fórmula de Abel) e usar que as somas parciais de \sum a_n são limitadas.

Passo 2

Definimos a soma parcial
A_n = \sum_{k=1}^n a_k.
Como \sum a_n converge, existe A<\infty tal que A_n\le A para todo n. Note também que
a_n = A_n - A_{n-1},
com A_0=0.

Passo 3

Chame
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k}.
Substituindo a_k = A_k - A_{k-1}, temos
S_n = \sum_{k=1}^n \frac{A_k - A_{k-1}}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{k} \;-\;\sum_{k=1}^n \frac{A_{k-1}}{k}.
Deslocando índice na segunda soma e reagrupando, obtemos a forma de soma por partes.

Passo 4

Após reorganizar, chega-se a
S_n = \frac{A_n}{n} \;+\;\sum_{k=1}^{n-1} A_k\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr).
Como A_k\le A, segue
0 \le \frac{A_n}{n} \le \frac{A}{n}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0
e
\sum_{k=1}^{\infty}A_k\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) \le A\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)} = A\bigl(1-\tfrac1{n+1}\bigr)\;\le A.
Portanto (S_n) é crescente (pois cada a_k/k\ge0) e está limitada acima, logo converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n} é convergente.

Exercícios relacionados