Seja
uma sequência de números reais tal que
e
converge. Mostre que
é convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá uma sequência
com
e tal que
é convergente. Precisamos mostrar que
também converge. Para isso, vamos recorrer à soma por partes (fórmula de Abel) e usar que as somas parciais de
são limitadas.
Passo 2
Definimos a soma parcial
Como
converge, existe
tal que
para todo
. Note também que
com
.
Passo 3
Chame
Substituindo
, temos
Deslocando índice na segunda soma e reagrupando, obtemos a forma de soma por partes.
Passo 4
Após reorganizar, chega-se a
Como
, segue
e
Portanto
é crescente (pois cada
) e está limitada acima, logo converge.
Resposta
A série
é convergente.