Considere A e B eventos independentes tais que P(A)=1 / 3 e P(B)=1 / 2. Calcule P(A cup B), P(A^c cup B^c) e P(A^c cap B).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem dois eventos, A e B, que são independentes. A probabilidade de A acontecer é 1/3 e a de B é 1/2. A gente precisa calcular três coisas: $ P(A \cup B) $, $ P(A^{c} \cup B^{c}) $ e $ P(A^{c} \cap B) $. Vamos usar conceitos básicos de probabilidade e a independência dos eventos para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ P(A \cup B) $, que é a probabilidade de A ou B acontecerem. Sabemos que para dois eventos qualquer:
P(A cup B)
Como A e B são independentes, a probabilidade de ambos acontecerem juntos é:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Então, substituindo na fórmula:
P(A cap B) = P(A) times P(B) = 13 times 12 = 16

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P(A^{c} \cup B^{c}) $, que é a probabilidade de pelo menos um dos eventos não ocorrer. Podemos usar a propriedade dos complementos:
P(A^c cup B^c)
Já sabemos que $ P(A \cap B) = \frac{1}{6} $, então:
P(A^c cup B^c) = 1 - P(A cap B)

Passo 4

Por fim, vamos calcular $ P(A^{c} \cap B) $, que é a probabilidade de A não acontecer e B acontecer. Como os eventos são independentes, o complemento de A também é independente de B. Então:
P(A^c cap B)

Resposta

As probabilidades são:
P(A cup B) = 23, P(A^c cup B^c) = 56, e P(A^c cap B) = 13

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