O produtor de certo tipo de componente eletrônico despacha os produtos para seus clientes em lotes de 20. Suponha que 60 % de todos os lotes enviados não contenham componentes com defeitos, 30 % contenham apenas um componente com defeito e 10 % contenham apenas dois componentes com defeito. Ao receber o lote, o cliente decide realizar uma inspeção por amostragem, selecionando dois componentes do lote ao acaso e sem reposição. Ao testar ambos os itens, descobre-se que nenhum deles é defeituoso e o lote é aceito. Considerando estas informações, responda:
Qual é a probabilidade de que exista apenas um componente defeituoso neste lote?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um produtor que envia componentes eletrônicos em lotes de 20 peças. A gente sabe que:
  • 60% dos lotes não têm defeitos,
  • 30% têm apenas 1 defeito,
  • E 10% têm apenas 2 defeitos.
Quando o cliente recebe um lote, ele escolhe 2 componentes ao acaso para inspecionar. Depois de testar os dois, ele vê que nenhum é defeituoso e decide aceitar o lote. A pergunta é: Qual a probabilidade de que esse lote tenha apenas 1 componente defeituoso?
Vamos usar probabilidade condicional para resolver isso. Basicamente, queremos saber a chance de haver exatamente 1 defeito sabendo que os dois componentes testados estavam perfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades iniciais:
  • P(A): Probabilidade de o lote ter 1 defeito = 30% ou 0,3.
  • P(B): Probabilidade de os dois componentes testados serem perfeitos.
Mas para calcular a probabilidade condicional, P(A | B), precisamos achar P(B), que é a probabilidade de os dois componentes testados serem perfeitos considerando todas as possibilidades de defeitos no lote.

Passo 3

Vamos calcular P(B) considerando os diferentes casos de defeitos no lote:
  1. Lote sem defeitos (60% das vezes):
    • Se não há defeitos, qualquer escolha de componentes será perfeita.
    • Então, P(B | nenhum defeito) = 1.
  2. Lote com 1 defeito (30% das vezes):
    • Há 19 componentes perfeitos e 1 defeituoso.
    • Probabilidade de escolher 2 perfeitos: P(B | 1 defeito) = 1920 times 1819 = 1820 = 0,9
  3. Lote com 2 defeitos (10% das vezes):
    • Há 18 componentes perfeitos e 2 defeituosos.
    • Probabilidade de escolher 2 perfeitos: P(B | 2 defeitos) = 1820 times 1719 = 306380 approx 0,805

Passo 4

Agora, combinamos essas probabilidades para achar P(B):
P(B) = P(nenhum defeito) times P(B | nenhum defeito) + P(1 defeito) times P(B | 1 defeito) + P(2 defeitos) times P(B | 2 defeitos)
P(B) = 0,6 times 1 + 0,3 times 0,9 + 0,1 times 0,805 = 0,6 + 0,27 + 0,0805 = 0,9505

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da probabilidade condicional:
P(A | B) = P(A) times P(B | A)P(B)
Substituindo os valores:
P(A | B) = 0,3 times 0,90,9505 approx 0,270,9505 approx 0,284

Resposta

A probabilidade de que exista apenas um componente defeituoso neste lote é de aproximadamente 28,4%.

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