Mostre que se A é independente de B, então
A é independente de B^c;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade que pede para mostrar que se o evento A é independente do evento B, então A também é independente do complemento de B, que a gente escreve como B^c. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com probabilidades de eventos complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dizemos que A e B são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um ocorrer separadamente. Ou seja:
P(A cap B) = P(A) times P(B)

Passo 3

Agora, queremos mostrar que A é independente do complemento de B, B^c. Segundo a definição de independência, a gente precisa provar que:
P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c)

Passo 4

Vamos começar analisando a probabilidade de A e B^c acontecerem juntos, P(A cap B^c). Sabemos que B^c é o evento de B não acontecer, então A cap B^c significa que A acontece e B não acontece ao mesmo tempo.

Passo 5

A gente também sabe que a probabilidade de um evento e seu complemento somarem 1. Então:
P(B) + P(B^c) = 1
Isso nos dá:
P(B^c) = 1 - P(B)

Passo 6

Voltando à nossa meta, queremos provar que:
P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c)
Sabendo que A e B são independentes, a gente pode usar a definição de independência para P(A cap B).

Passo 7

Sabemos que:
P(A) = P(A cap B) + P(A cap B^c)
Como A pode acontecer junto com B ou com B^c, e essas duas situações são mutuamente exclusivas.

Passo 8

Como A e B são independentes, a gente tem:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Substituindo isso na equação anterior:
P(A) = P(A) times P(B) + P(A cap B^c)

Passo 9

Agora, isolamos P(A cap B^c):
P(A cap B^c) = P(A) - P(A) times P(B) = P(A) times (1 - P(B))

Passo 10

Lembrando que:
1 - P(B) = P(B^c)
Então, substituindo:
P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c)

Resposta

Portanto, mostramos que P(A cap B^c) = P(A) times P(B^c), ou seja, A é independente de B^c.

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