Mostre que se
é independente de
, então
é independente de
;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade que pede para mostrar que se o evento
é independente do evento
, então
também é independente do complemento de
, que a gente escreve como
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com probabilidades de eventos complementares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dizemos que
e
são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um ocorrer separadamente. Ou seja:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
é independente do complemento de
,
. Segundo a definição de independência, a gente precisa provar que:
Passo 4
Vamos começar analisando a probabilidade de
e
acontecerem juntos,
. Sabemos que
é o evento de
não acontecer, então
significa que
acontece e
não acontece ao mesmo tempo.
Passo 5
A gente também sabe que a probabilidade de um evento e seu complemento somarem 1. Então:
Isso nos dá:
Passo 6
Voltando à nossa meta, queremos provar que:
Sabendo que
e
são independentes, a gente pode usar a definição de independência para
.
Passo 7
Sabemos que:
Como
pode acontecer junto com
ou com
, e essas duas situações são mutuamente exclusivas.
Passo 8
Como
e
são independentes, a gente tem:
Substituindo isso na equação anterior:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Passo 10
Lembrando que:
Então, substituindo:
Resposta
Portanto, mostramos que
, ou seja,
é independente de
.