Mostre que se
são independentes, então
é independente de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então o evento $ A \cap B^{c} $ também é independente de $ C $. Isso está dentro do conteúdo de probabilidade e, mais especificamente, de independência de eventos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com complementos de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois eventos são independentes. Dois eventos $ X $ e $ Y $ são independentes se a probabilidade da interseção deles for igual ao produto das probabilidades individuais, ou seja:
Passo 3
Sabemos que $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes. Isso significa que qualquer combinação de interseções desses eventos segue a regra acima. Em particular:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que $ A \cap B^{c} $ é independente de $ C $. Segundo a definição de independência, precisamos provar que:
Passo 5
Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade. A interseção $ (A \cap B^{c}) \cap C $ é o mesmo que $ A \cap B^{c} \cap C $. Como $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ P(A \cap B^{c}) $. Como $ A $ e $ B $ são independentes, temos:
Passo 7
Substituindo $ P(A \cap B^{c}) $ na equação do Passo 5, temos:
Isso mostra que:
Resposta
Portanto, $ A \cap B^{c} $ é independente de $ C $.