Mostre que se A, B, C são independentes, então
A cap B^c é independente de C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então o evento $ A \cap B^{c} $ também é independente de $ C $. Isso está dentro do conteúdo de probabilidade e, mais especificamente, de independência de eventos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com complementos de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois eventos são independentes. Dois eventos $ X $ e $ Y $ são independentes se a probabilidade da interseção deles for igual ao produto das probabilidades individuais, ou seja:
X

Passo 3

Sabemos que $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes. Isso significa que qualquer combinação de interseções desses eventos segue a regra acima. Em particular:
A

Passo 4

Agora, queremos mostrar que $ A \cap B^{c} $ é independente de $ C $. Segundo a definição de independência, precisamos provar que:
A cap B^c

Passo 5

Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade. A interseção $ (A \cap B^{c}) \cap C $ é o mesmo que $ A \cap B^{c} \cap C $. Como $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, podemos escrever:
(A cap B^c) cap C

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(A \cap B^{c}) $. Como $ A $ e $ B $ são independentes, temos:
P(A cap B^c)

Passo 7

Substituindo $ P(A \cap B^{c}) $ na equação do Passo 5, temos:
P(A cap B^c)
Isso mostra que:
P(A cap B^c cap C) = P(A cap B^c) cdot P(C)

Resposta

Portanto, $ A \cap B^{c} $ é independente de $ C $.

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