Considere A e B eventos independentes tais que P(A)=1 / 4 e P(A cup B)=1 / 3. Determine P(B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidades de eventos independentes. Temos dois eventos, A e B, que não interferem um no outro. A gente sabe que a probabilidade de A acontecer é $ P(A) = \frac{1}{4} $ e a probabilidade de pelo menos um dos dois acontecer, ou seja, $ P(A \cup B) = \frac{1}{3} $. O objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de B acontecer, $ P(B) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica da probabilidade para a união de dois eventos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Como A e B são eventos independentes, a probabilidade de ambos acontecerem juntos é o produto das probabilidades individuais:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Vamos substituir essa relação na primeira fórmula.

Passo 3

Substituindo $ P(A \cap B) $ na fórmula da união, temos:
P(A cap B)
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar $ P(B) $.

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm $ P(B) $:
P(B)
Calculando o lado esquerdo:
13 - 14 = P(B) - 14P(B)
Então:
13 - 14 = 4 - 312 = 112
112 = P(B) (1 - 14)

Passo 5

Para isolar $ P(B) $, dividimos os dois lados por $ \frac{3}{4} $:
P(B)
34
P(B) = 11234
P(B) = 112 times 43

Resposta

A probabilidade de $ B $ ocorrer é $ P(B) = \frac{1}{9} $.

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