Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas são selecionadas uma de cada vez, ao acaso, e com reposição desta urna. Considere os eventos A: a primeira bola retirada é par, B: a segunda bola retirada é par. Calcule
a probabilidade da segunda bola ser par, sabendo que pelo menos uma das duas bolas retiradas é par;

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 5. Vamos tirar duas bolas, uma de cada vez, e sempre devolver a bola na urna antes da próxima retirada (isso se chama “com reposição”). Queremos calcular a probabilidade de a segunda bola ser par, dado que pelo menos uma das duas bolas retiradas é par. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais números são pares na urna de 1 a 5. Os números pares são 2 e 4, então temos 2 bolas pares e 3 bolas ímpares.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de sair uma bola par em qualquer retirada. Como temos 2 bolas pares em um total de 5, a probabilidade de tirar uma bola par em uma retirada é:
P(par) = 25

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de pelo menos uma das duas bolas ser par. Isso é $ P(A \cup B) $, onde $ A $ é a primeira bola ser par e $ B $ é a segunda bola ser par. Podemos usar a fórmula:
P(A cup B)
Sabemos que $ P(A) = P(B) = \frac{2}{5} $ e $ P(A \cap B) $ (ambas as bolas serem pares) é:
A
Então:
B

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de a segunda bola ser par, dado que pelo menos uma é par, ou seja, $ P(B | A \cup B) $. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(B | A cup B)
Como $ B $ já está incluído em $ A \cup B $, $ P(B \cap (A \cup B)) = P(B) $. Portanto:
P(B | A cup B) = P(B cap (A cup B))P(A cup B)

Resposta

A probabilidade de a segunda bola ser par, dado que pelo menos uma das duas bolas retiradas é par, é $ \frac{5}{6} $.

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