Mostre que se A é independente de B, então
A^c é independente de B^c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se o evento A é independente de B, então o complemento de A (chamado de A^c) também é independente do complemento de B ( B^c). Vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com complementos de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é independência de eventos. Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais. Isso é matematicamente representado por:
P(A cap B) = P(A) cdot P(B)
Vamos usar essa definição para provar a independência de A^c e B^c.

Passo 3

Queremos mostrar que:
P(A^c cap B^c) = P(A^c) cdot P(B^c)
Para isso, vamos expressar P(A^c cap B^c) de uma forma que possamos relacionar com P(A cap B).

Passo 4

Sabemos que A^c cap B^c é o complemento de (A cup B). Então, usando a fórmula do complemento:
P(A^c cap B^c) = 1 - P(A cup B)
Também sabemos que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)

Passo 5

Substituindo na expressão anterior:
P(A^c cap B^c) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A cap B)]
Como A e B são independentes, podemos substituir P(A cap B) por P(A) cdot P(B):
P(A^c cap B^c) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A) cdot P(B)]

Passo 6

Simplificando a expressão:
P(A^c cap B^c) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) cdot P(B)
Podemos reescrever isso como:
P(A^c) cdot P(B^c) = (1 - P(A)) cdot (1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) cdot P(B)

Passo 7

Comparando as duas expressões:
P(A^c cap B^c) = P(A^c) cdot P(B^c)
Isso mostra que A^c e B^c também são eventos independentes.

Resposta

Portanto, se A é independente de B, então A^c é independente de B^c.

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