Mostre que se
é independente de
, então
é independente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que se o evento
é independente de
, então o complemento de
(chamado de
) também é independente do complemento de
(
). Vamos precisar entender o que significa dois eventos serem independentes e como trabalhar com complementos de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é independência de eventos. Dois eventos
e
são independentes se a probabilidade de ambos acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais. Isso é matematicamente representado por:
Vamos usar essa definição para provar a independência de
e
.
Passo 3
Queremos mostrar que:
Para isso, vamos expressar
de uma forma que possamos relacionar com
.
Passo 4
Sabemos que
é o complemento de
. Então, usando a fórmula do complemento:
Também sabemos que:
Passo 5
Substituindo na expressão anterior:
Como
e
são independentes, podemos substituir
por
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Comparando as duas expressões:
Isso mostra que
e
também são eventos independentes.
Resposta
Portanto, se
é independente de
, então
é independente de
.