Mostre que se
são independentes, então
é independente de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então a interseção dos complementos de $ A $ e $ B $ ($ A^{c} \cap B^{c} $) também é independente de $ C $. Estamos falando de probabilidade de eventos independentes, onde a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa independência de eventos. Dois eventos $ X $ e $ Y $ são independentes se:
Isso quer dizer que a probabilidade de $ X $ e $ Y $ acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.
Passo 3
Como $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, sabemos que:
E também:
Passo 4
Queremos provar que $ A^{c} \cap B^{c} $ é independente de $ C $. Segundo a definição de independência, precisamos mostrar que:
Passo 5
Vamos calcular $ P(A^{c} \cap B^{c}) $. Sabemos que:
E como $ A $ e $ B $ são independentes:
Passo 6
Agora, calculamos $ P\left( (A^{c} \cap B^{c}) \cap C \right) $. Isso é igual a $ P(C \cap A^{c} \cap B^{c}) $. Sabemos que:
Usando a independência:
Resposta
Portanto, $ A^{c} \cap B^{c} $ é independente de $ C $, já que: