Mostre que se A, B, C são independentes, então
A^c cap B^c é independente de C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se os eventos $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, então a interseção dos complementos de $ A $ e $ B $ ($ A^{c} \cap B^{c} $) também é independente de $ C $. Estamos falando de probabilidade de eventos independentes, onde a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa independência de eventos. Dois eventos $ X $ e $ Y $ são independentes se:
X
Isso quer dizer que a probabilidade de $ X $ e $ Y $ acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais.

Passo 3

Como $ A $, $ B $ e $ C $ são independentes, sabemos que:
A
B
C
E também:
P(A cap B) = P(A) cdot P(B)

Passo 4

Queremos provar que $ A^{c} \cap B^{c} $ é independente de $ C $. Segundo a definição de independência, precisamos mostrar que:
A^c cap B^c

Passo 5

Vamos calcular $ P(A^{c} \cap B^{c}) $. Sabemos que:
P(A^c cap B^c)
P(A^c) = 1 - P(A)
E como $ A $ e $ B $ são independentes:
P(B^c) = 1 - P(B)

Passo 6

Agora, calculamos $ P\left( (A^{c} \cap B^{c}) \cap C \right) $. Isso é igual a $ P(C \cap A^{c} \cap B^{c}) $. Sabemos que:
P( (A^c cap B^c) cap C )
Usando a independência:
P(C cap A^c cap B^c)
P(C cap A^c cap B^c) = P(C) - P(C cap A) - P(C cap B) + P(C cap A cap B)
= P(C) - P(C)P(A) - P(C)P(B) + P(C)P(A)P(B)
= P(C) [ 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) ]

Resposta

Portanto, $ A^{c} \cap B^{c} $ é independente de $ C $, já que:
A^c cap B^c

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