Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes X\in M_{2}(\mathbb{K}) (vamos supor \mathbb{K}=\mathbb{R} ou \mathbb{C}) tais que
XA = AX,
onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é o centralizador (ou comutante) de A, e para encontrá-lo basta tomar uma matriz genérica X com entradas desconhecidas, impor XA=AX e resolver o sistema linear resultante.]

Passo 2

Seja
X = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}.
Calculamos primeiro
XA = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\cdot1 + b\cdot0 & a\cdot1 + b\cdot0\\[4pt] c\cdot1 + d\cdot0 & c\cdot1 + d\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a\\[4pt]c & c\end{pmatrix},
e em seguida
AX = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot a + 1\cdot c & 1\cdot b + 1\cdot d\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a + c & b + d\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Impondo XA = AX, igualamos as entradas correspondentes:
  1. Na posição (1,1): a = a + c, logo
c = 0.
  1. Na posição (1,2): a = b + d, ou seja
b + d = a.
  1. A segunda linha de XA é \,(c,c) e de AX é (0,0), o que já dá c=0, consistente com o item 1.

Passo 4

Portanto os únicos requisitos são
c=0, \qquad b + d = a.
Assim a forma geral de X é
X = \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]0 & d\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad a = b + d.
Podemos escolher parâmetros livres s=b e t=d, obtendo
X = \begin{pmatrix}s+t & s\\[4pt]0 & t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = s\,A + t\,I.]

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são exatamente
\boxed{\,X = s\,A + t\,I \quad\text{para }s,t\in\mathbb{K},\,}
isto é, o centralizador de A é o espaço gerado por \{I,A\}.

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