Considere
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
se
é uma matriz simétrica, então
é uma matriz simétrica.
se
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas
e
da mesma ordem, com
simétrica, isto é,
Queremos mostrar que a matriz
também é simétrica, ou seja,
.
Passo 2
Defina
Como
é simétrica, temos
Passo 3
Para calcular a transposta de
, usamos a propriedade geral de transposta de produto:
Aqui tomamos
,
e
. Logo
Passo 4
Como
e
, substituímos na expressão acima e obtemos
Isso mostra que
é igual à sua transposta.
Resposta
Logo, se
é simétrica, então
também é uma matriz simétrica.