Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
se A é uma matriz simétrica, então B^{t} A B é uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem, com A simétrica, isto é,
A^t = A.
Queremos mostrar que a matriz
M = B^t A B
também é simétrica, ou seja, (B^t A B)^t = B^t A B.

Passo 2

Defina
M = B^t A B.
Como A é simétrica, temos
A^t = A.

Passo 3

Para calcular a transposta de M, usamos a propriedade geral de transposta de produto:
(XYZ)^t = Z^t\,Y^t\,X^t.
Aqui tomamos X = B^t, Y = A e Z = B. Logo
M^t = (B^t A B)^t = B^t\,A^t\,(B^t)^t.

Passo 4

Como A^t = A e (B^t)^t = B, substituímos na expressão acima e obtemos
M^t = B^t\,A\,B = M.
Isso mostra que M é igual à sua transposta.

Resposta

Logo, se A é simétrica, então B^t A B também é uma matriz simétrica.

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