- Considere em
com as operações:
- Adição:
para quaisquer
.
- Multiplicação por escalar:
para todo
e todo
.
(a) Exiba o elemento neutro da adição
.
(b) Exiba o simétrico aditivo de
.
(c) Exiba a unidade da operação
.
(d) Mostre que
é um espaço vetorial real.
(a) Exiba o elemento neutro da adição
(b) Exiba o simétrico aditivo de
(c) Exiba a unidade da operação
(d) Mostre que
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e .
O objetivo é encontrar
(a) o neutro de ,
(b) o simétrico aditivo de ,
(c) a unidade de ,
(d) e mostrar que é um espaço vetorial sobre
.
e
O objetivo é encontrar
(a) o neutro de
(b) o simétrico aditivo de
(c) a unidade de
(d) e mostrar que
Passo 2
Procuramos
tal que
Pelos componentes:
-
para todo implica . -
para todo implica .
Logo, o elemento neutro é
Passo 3
Buscamos
tal que
Da primeira componente vem
, logo
.
Da segunda componente vem , logo
.
Portanto, o simétrico aditivo de é
Da segunda componente vem
Portanto, o simétrico aditivo de
Passo 4
Procuramos
tal que
para todo
.
Isso leva a
Isso leva a
Para todo
e todo
só vale se
.
Logo, a unidade escalar é
Logo, a unidade escalar é
Passo 5
Agora verificamos os axiomas de espaço vetorial:
- Fechamento em
: se então , e . - Comutatividade da soma:
- Associatividade da soma:
- Elemento neutro e inversos aditivos já encontrados nos Passos 2 e 3.
- Fechamento em
: se e então e . - Compatibilidade escalar–vetor:
- Compatibilidade escalares:
- Distributividade sobre soma de vetores:
- Unidade escalar do Passo 4:
.
Como todas as propriedades de grupo abeliano para
e de módulo para
estão satisfeitas,
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Conforme demonstrado, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial real, logo é um espaço vetorial sobre
.
(b)
(c)
(d) Conforme demonstrado,