1. Considere em V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x>0\right\} com as operações:
  • Adição: \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1} \cdot x_{2}, y_{1}+y_{2}\right) para quaisquer \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}.
  • Multiplicação por escalar: \lambda \odot(x, y)=\left(x^{\lambda}, \lambda \cdot y\right) para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2} e todo \lambda \in \mathbb{R}.
    (a) Exiba o elemento neutro da adição \oplus.
    (b) Exiba o simétrico aditivo de (x, y).
    (c) Exiba a unidade da operação \odot.
    (d) Mostre que V é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define em V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;x>0\} as operações \;(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)=(x_1x_2,\;y_1+y_2)
e \;\lambda\odot(x,y)=(x^\lambda,\;\lambda y).
O objetivo é encontrar
(a) o neutro de \oplus,
(b) o simétrico aditivo de (x,y),
(c) a unidade de \odot,
(d) e mostrar que (V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Procuramos (e_x,e_y)\in V tal que
(e_x,e_y)\oplus(x,y)=(x,y)\quad\text{e}\quad(x,y)\oplus(e_x,e_y)=(x,y).
Pelos componentes:
  1. e_x\cdot x = x para todo x>0 implica e_x=1.
  2. e_y + y = y para todo y\in\mathbb{R} implica e_y=0.
    Logo, o elemento neutro é
\boxed{(1,0)}.

Passo 3

Buscamos (x',y')\in V tal que
(x,y)\oplus(x',y')=(1,0).
Da primeira componente vem x\cdot x'=1, logo x'=1/x.
Da segunda componente vem y + y'=0, logo y'=-y.
Portanto, o simétrico aditivo de (x,y) é
\boxed{\bigl(1/x,\,-y\bigr)}.

Passo 4

Procuramos \lambda_0\in\mathbb{R} tal que \lambda_0\odot(x,y)=(x,y) para todo (x,y).
Isso leva a
(x^{\lambda_0},\;\lambda_0 y)=(x,y)\implies x^{\lambda_0}=x,\;\lambda_0 y=y.
Para todo x>0 e todo y só vale se \lambda_0=1.
Logo, a unidade escalar é \boxed{1}.

Passo 5

Agora verificamos os axiomas de espaço vetorial:
  1. Fechamento em \oplus: se x_1,x_2>0 então x_1x_2>0, e y_1+y_2\in\mathbb{R}.
  2. Comutatividade da soma:
(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)=(x_1x_2,y_1+y_2)=(x_2x_1,y_2+y_1)=(x_2,y_2)\oplus(x_1,y_1).
  1. Associatividade da soma:
\bigl((x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)\bigr)\oplus(x_3,y_3) =(x_1x_2x_3,\;y_1+y_2+y_3) =(x_1,y_1)\oplus\bigl((x_2,y_2)\oplus(x_3,y_3)\bigr).
  1. Elemento neutro e inversos aditivos já encontrados nos Passos 2 e 3.
  2. Fechamento em \odot: se x>0 e \lambda\in\mathbb{R} então x^\lambda>0 e \lambda y\in\mathbb{R}.
  3. Compatibilidade escalar–vetor:
(\lambda+\mu)\odot(x,y) =(x^{\lambda+\mu},(\lambda+\mu)y) =(x^\lambda x^\mu,\lambda y+\mu y) =(x^\lambda,\lambda y)\oplus(x^\mu,\mu y).
  1. Compatibilidade escalares:
(\lambda\mu)\odot(x,y) =(x^{\lambda\mu},(\lambda\mu)y) =\lambda\odot\bigl(\mu\odot(x,y)\bigr).
  1. Distributividade sobre soma de vetores:
\lambda\odot\bigl((x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2)\bigr) =\bigl((x_1x_2)^\lambda,\lambda(y_1+y_2)\bigr) =(x_1^\lambda,\lambda y_1)\oplus(x_2^\lambda,\lambda y_2).
  1. Unidade escalar do Passo 4: 1\odot(x,y)=(x,y).
Como todas as propriedades de grupo abeliano para \oplus e de módulo para \odot estão satisfeitas, V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

(a) (1,0)
(b) \bigl(1/x,\,-y\bigr)
(c) 1
(d) Conforme demonstrado, (V,\oplus,\odot) satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial real, logo é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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