Considere a função
(a) (2 pontos) Encontre a série de Fourier.
(b) (1 ponto) Esboce o gráfico da função para qual a série converge em um intervalo de três períodos.
(c) (1 ponto) Para qual valor a série converge quando (x=-1] ?
(d) (1 ponto) Mostre que
(b) (1 ponto) Esboce o gráfico da função para qual a série converge em um intervalo de três períodos.
(c) (1 ponto) Para qual valor a série converge quando (x=-1] ?
(d) (1 ponto) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
Note que sobre esse intervalo
é par. Vamos obter sua série de Fourier em termos de cossenos, depois discutir o gráfico da soma, avaliar em
e extrair a soma da série de quadrados dos ímpares.
Passo 2
Cálculo do coeficiente
. Para uma série de Fourier com período
(ou seja,
),
Logo o termo constante da série é
.
Passo 3
Cálculo dos coeficientes gerais
. Para função par, só há cossenos:
Como
e
são pares,
Use integração por partes com
,
, onde
:
Mas
e
. Assim
Isto dá
se
é par, e para
ímpar
Passo 4
Escrevendo a série completa, como
,
Passo 5
Gráfico da soma da série num intervalo de três períodos: como a série converge pontual à
(função contínua), o esboço é simplesmente a extensão periódica de
em
. Ou seja, em cada bloco de largura 4 temos um “V” centrado em 0, repetido periodicamente três vezes.
Passo 6
Em
a série converge ao valor
.
Passo 7
Para obter
,
avalie a série em . Em
temos
e
, logo
avalie a série em
Resposta
(a)
(b) A série converge à função contínua periódica que em cada período
é
, formando um “V” repetido três vezes.
(c) A série converge para em
.
(d)
(c) A série converge para
(d)