Considere a função f\) de período 4 abaixo \[f(x)= \begin{cases}-x, & -2 \leq x<0 \\\ x, & 0 \leq x<2\end{cases}
(a) (2 pontos) Encontre a série de Fourier.
(b) (1 ponto) Esboce o gráfico da função para qual a série converge em um intervalo de três períodos.
(c) (1 ponto) Para qual valor a série converge quando (x=-1] ?
(d) (1 ponto) Mostre que
\frac{\pi^{2}}{8}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\ldots

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período T=4\) dada em um período fundamental \([-2,2)\) por \[f(x)= \begin{cases} -x, & -2\le x<0,\\\ x, & 0\le x<2. \end{cases}
Note que sobre esse intervalo f(x)=|x|\], valor absoluto, e que \(f é par. Vamos obter sua série de Fourier em termos de cossenos, depois discutir o gráfico da soma, avaliar em x=-1 e extrair a soma da série de quadrados dos ímpares.

Passo 2

Cálculo do coeficiente a_0. Para uma série de Fourier com período 2L=4 (ou seja, L=2),
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}|x|\,dx =\frac{1}{2}\cdot2\int_{0}^{2}x\,dx =\int_{0}^{2}x\,dx =\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 =2.
Logo o termo constante da série é a_0/2=1.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes gerais a_n. Para função par, só há cossenos:
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}|x|\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx.
Como f e \cos são pares,
a_n =\int_{0}^{2}x\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx.
Use integração por partes com u=x, dv=\cos(kx)\,dx, onde k=\tfrac{n\pi}{2}:
\int_{0}^{2}x\cos(kx)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(kx)}{k}+\frac{\cos(kx)}{k^2}\Bigr]_0^2 = \frac{2\sin(2k)}{k}+\frac{\cos(2k)-1}{k^2}.
Mas \sin(2k)=\sin(n\pi)=0 e \cos(2k)=(-1)^n. Assim
a_n =\frac{(-1)^n-1}{k^2} =\frac{(-1)^n-1}{(n\pi/2)^2} =\frac{4\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.
Isto dá a_n=0 se n é par, e para n=2m+1 ímpar
a_{2m+1} =\frac{4\bigl(-1-1\bigr)}{(2m+1)^2\pi^2} =-\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}.

Passo 4

Escrevendo a série completa, como b_n=0,
f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr) =1 +\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\Bigr).

Passo 5

Gráfico da soma da série num intervalo de três períodos: como a série converge pontual à f(x) (função contínua), o esboço é simplesmente a extensão periódica de f(x)=|x| em [-2,2]. Ou seja, em cada bloco de largura 4 temos um “V” centrado em 0, repetido periodicamente três vezes.

Passo 6

Em x=-1 a série converge ao valor f(-1)=|{-1}|=1.

Passo 7

Para obter
\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(2k+1)^2},
avalie a série em x=0. Em x=0 temos \cos\bigl((2m+1)\pi\cdot0/2\bigr)=1 e f(0)=0, logo
0 =1+\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\Bigr)\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^2} =\frac{\pi^2}{8}.

Resposta

(a)
f(x) =1 +\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{8}{(2m+1)^2\pi^2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\Bigr).
(b) A série converge à função contínua periódica que em cada período [-2,2] é f(x)=|x|, formando um “V” repetido três vezes.
(c) A série converge para 1 em x=-1.
(d)
\frac{\pi^{2}}{8} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}} =1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+\cdots.

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