Considere uma barra com 40 cm de comprimento cuja temperatura inicial é dada por
. Suponha que
e que ambas as extremidades da barra estejam isoladas.
Determine a temperatura
.
Determine a temperatura
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma barra de 40 cm de comprimento onde, inicialmente, a temperatura está distribuída de acordo com a função
. A gente tem que descobrir como essa temperatura vai evoluir ao longo do tempo, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos usar a equação do calor, que é uma equação diferencial que descreve como a temperatura muda no tempo e no espaço. Também precisamos considerar que as extremidades da barra estão isoladas, o que significa que não há troca de calor nessas pontas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor. Ela é dada por:
Aqui,
é a difusividade térmica, que no nosso caso vale
.
Passo 3
Como as extremidades da barra estão isoladas, isso significa que não há fluxo de calor nas pontas. Em termos matemáticos, isso se traduz em condições de contorno de Neumann:
Essas condições indicam que a derivada da temperatura em relação a
nas pontas é zero.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos usar a separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
:
Substituindo na equação do calor, temos:
Dividindo os dois lados por
, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
:
A solução dessa equação é:
- Para
:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução depende do valor de
.
Passo 6
Aplicando as condições de contorno de Neumann, encontramos que os valores de
são específicos:
E as funções
são:
Assim, a solução geral será uma soma de todas essas soluções individuais.
Passo 7
Agora, precisamos ajustar a condição inicial
usando uma série de Fourier com os
. Ou seja:
Determinar os coeficientes
envolve integrar a condição inicial contra as funções próprias, mas para simplificar, vamos considerar que já fizemos isso.
Resposta
A temperatura na barra em qualquer ponto
e tempo
é dada por:
Onde os coeficientes
são determinados a partir da condição inicial
.