Determine o valor do coeficiente de amortecimento b que caracteriza o amortecimento crítico para este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir o valor do coeficiente de amortecimento b que caracteriza o amortecimento crítico para um sistema qualquer. Isso faz parte do estudo de sistemas oscilatórios na física, onde a gente analisa como diferentes tipos de amortecimento afetam o movimento. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é amortecimento crítico e usar a fórmula específica para encontrá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre amortecimento. Ele é responsável por reduzir as oscilações de um sistema, como um pêndulo ou uma mola. Existem três tipos principais de amortecimento:
  1. Subamortecido: O sistema oscila antes de parar.
  2. Amortecimento crítico: O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, e faz isso no menor tempo possível.
  3. Superamortecido: O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, mas de forma mais lenta que o amortecimento crítico.
Aqui, queremos o caso do amortecimento crítico, que é o ponto ideal onde o sistema volta ao repouso rapidamente sem oscilar.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente de amortecimento crítico bc , usamos a seguinte fórmula:
bc = 2 raizk cdot m
Onde:
  • k é a constante da mola (medida em N/m)
  • m é a massa do objeto ligado à mola (medida em kg)
Essa fórmula nos dá o valor de b que faz com que o sistema atinja o amortecimento crítico.

Passo 4

Vamos entender de onde essa fórmula vem. Ela é derivada da equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Essa é uma equação diferencial que descreve como a posição x muda com o tempo t . O termo b dxdt representa o amortecimento. Para que o sistema esteja criticamente amortecido, o discriminante da solução dessa equação deve ser zero, o que leva à condição:
bc = 2 raizk cdot m

Passo 5

Então, resumindo, para encontrar o coeficiente de amortecimento crítico b , você precisa saber a constante da mola k e a massa m do sistema. Basta substituir esses valores na fórmula acima.

Resposta

O coeficiente de amortecimento crítico é dado por:
bc = 2 raizk cdot m

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