Considere um sistema massa-mola com uma massa
de
, presa a uma mola de constante elástica
. O sistema está oscilando livremente, mas você aplica uma força externa
, com
e
é a frequência angular da força externa.
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui um sistema massa-mola. Tem uma massa de 0,5 kg ligada a uma mola com constante elástica de 200 N/m. O sistema tá oscilando sozinho, mas aí a gente aplica uma força externa que varia no tempo, tipo um cosseno. A gente vai precisar usar a segunda lei de Newton pra relacionar tudo isso e achar como o sistema vai se comportar com essa força externa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento. A segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Aqui, as forças são da mola e da força externa. Então temos:
Onde:
-
é a massa, -
é a constante da mola, -
é a amplitude da força externa, -
é a frequência angular, -
é a posição da massa em função do tempo, -
é a aceleração.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela é do tipo forçado, porque tem uma força externa que depende do tempo. A solução geral
será a soma da solução homogênea
(que resolve a equação sem a força externa) e da solução particular
(devido à força externa):
Passo 4
Começamos pela solução homogênea. A equação homogênea é:
Que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução harmônica. A solução homogênea é:
Onde
é a frequência natural do sistema.
Passo 5
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos achar a solução particular. Assumimos que
tem a mesma forma da força externa:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Cancela-se
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Então, a solução geral fica:
Se considerarmos que estamos interessados no estado estacionário (após as oscilações iniciais terem decaído), podemos ignorar a parte homogênea:
Resposta
A posição da massa em função do tempo, no estado estacionário, é: