Se a série convergir, avalie a sua soma, ou demonstre que não converge
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)}{(\ln n) \ln (n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergir, calcular a soma da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)}{(\ln n)\,\ln(n+1)}.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma soma telescópica usando propriedades de logaritmos.

Passo 2

Observe que
\ln\Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)=\ln(n+1)-\ln n.
Logo o termo geral torna-se
\frac{\ln(n+1)-\ln n}{\ln n\;\ln(n+1)} =\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln(n+1)}.

Passo 3

Considere a soma parcial até N:
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\tfrac{1}{\ln n}-\tfrac{1}{\ln(n+1)}\Bigr).
Por telescópica, cancelam-se todos os termos intermediários e sobra
S_{N}=\frac{1}{\ln2}-\frac{1}{\ln(N+1)}.

Passo 4

Fazendo N\to\infty, temos \ln(N+1)\to\infty e, portanto, \tfrac{1}{\ln(N+1)}\to0. Assim a série converge e
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln\bigl(\tfrac{n+1}{n}\bigr)}{(\ln n)\,\ln(n+1)} =\frac{1}{\ln2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\ln2}

Exercícios relacionados