Verifique que a seguinte série é convergente
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
Vamos usar o teste da integral, que é adequado para séries de termos positivos que envolvem funções contínuas decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que
e, calculando a derivada
vemos que
para
. Logo
em
, ou seja,
é decrescente e positiva.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
, e quando
,
. Portanto
Passo 4
Calculamos a integral de
:
que é finito. Logo a integral converge.
Passo 5
Pelo teste da integral, como
concluímos que a série
é convergente.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.