Verifique que a seguinte série é convergente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Vamos usar o teste da integral, que é adequado para séries de termos positivos que envolvem funções contínuas decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},
para x\ge2. Observamos que f(x)>0 e, calculando a derivada
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[x^{-1}(\ln x)^{-2}\Bigr] =-\,\frac{1+2\ln x}{x^{2}(\ln x)^{3}},
vemos que 1+2\ln x>0 para x\ge2. Logo f'(x)<0 em [2,\infty), ou seja, f é decrescente e positiva.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazemos a substituição u=\ln x, de modo que du=\frac{dx}{x}. Quando x=2, u=\ln2, e quando x\to\infty, u\to\infty. Portanto
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}}.

Passo 4

Calculamos a integral de u^{-2}:
\int_{\ln2}^{\infty}u^{-2}\,du =\Bigl[-\,\frac{1}{u}\Bigr]_{u=\ln2}^{u\to\infty} =0-\Bigl(-\frac{1}{\ln2}\Bigr) =\frac{1}{\ln2},
que é finito. Logo a integral converge.

Passo 5

Pelo teste da integral, como
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx<\infty \quad\text{e}\quad f(x)\text{ é positiva e decrescente},é
concluímos que a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
é convergente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}} converge pelo teste da integral.

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