1. Em um fio de níquel-cromo sao realızadas diferentes mediçoes experimentais de tensao V(V) e corrente elétrica I(A) mostradas na tabela ao lado.
\mathrm{I}(\mathrm{A}) \mathrm{V}(\mathrm{V})
0,08 1,0
0,15 2,0
0,23 3,0
0,31 4,0
0,39 5,0
0,46 6,0
(b) Determine a equaçāo para a linha reta que oferece o melhor ajuste dos dados. Isto é V=\alpha I+\beta, com as respectivas unidades de \alpha e \beta.

Passo 1

O enunciado dá medições experimentais de corrente I (em ampères) e tensão V (em volts) para um fio, na tabela:
  • I=0,08, V=1,0
  • I=0,15, V=2,0
  • I=0,23, V=3,0
  • I=0,31, V=4,0
  • I=0,39, V=5,0
  • I=0,46, V=6,0
O que se pede: determinar a equação da reta que melhor ajusta os dados, escrita como V=\alpha I+\beta, e indicar as unidades de \alpha e \beta.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): vamos usar o ajuste por mínimos quadrados para uma reta. A ideia é escolher \alpha (inclinação) e \beta (intercepto) de modo que a soma dos quadrados dos desvios verticals V_{\text{medido}}-(\alpha I+\beta) seja mínima. As fórmulas fechadas para os coeficientes são:
\alpha=\frac{n\sum (I V)-\left(\sum I\right)\left(\sum V\right)}{n\sum I^{2}-\left(\sum I\right)^{2}}
\beta=\frac{\sum V-\alpha\sum I}{n}
Onde:
  • n é o número de pontos (aqui n=6);
  • \sum I é a soma das correntes (em A);
  • \sum V é a soma das tensões (em V);
  • \sum I^2 é a soma dos quadrados das correntes (em A ^2);
  • \sum (I V) é a soma dos produtos corrente × tensão (em A·V).
Vou calcular essas somas a partir da tabela.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (cada valor foi obtido diretamente da tabela dada):
  • n=6.
  • Valores individuais e produtos:
    • Para I=0,08, V=1,0: I^{2}=0,0064, I V=0,08.
    • Para I=0,15, V=2,0: I^{2}=0,0225, I V=0,30.
    • Para I=0,23, V=3,0: I^{2}=0,0529, I V=0,69.
    • Para I=0,31, V=4,0: I^{2}=0,0961, I V=1,24.
    • Para I=0,39, V=5,0: I^{2}=0,1521, I V=1,95.
    • Para I=0,46, V=6,0: I^{2}=0,2116, I V=2,76.
  • Somando:
    \sum I = 0,08+0,15+0,23+0,31+0,39+0,46 = 1,62\\ \text{A}
\sum V = 1+2+3+4+5+6 = 21\\ \text{V}
\sum I^{2} = 0,0064+0,0225+0,0529+0,0961+0,1521+0,2116 = 0,5416\\ \text{A}^{2}
\sum (I V) = 0,08+0,30+0,69+1,24+1,95+2,76 = 7,02\\ \text{A}\cdot\text{V}

Passo 4

Calcular \alpha substituindo nas fórmulas. Primeiro o numerador e denominador:
\text{numerador} = n\sum (I V)-(\sum I)(\sum V) = 6\cdot 7,02 - 1,62\cdot 21
Calculemos cada termo:
6\cdot 7,02 = 42,12
1,62\cdot 21 = 34,02
\text{numerador} = 42,12 - 34,02 = 8,10
Agora o denominador:
\text{denominador} = n\sum I^{2} - (\sum I)^{2} = 6\cdot 0,5416 - (1,62)^{2}
6\cdot 0,5416 = 3,2496
(1,62)^{2} = 2,6244
\text{denominador} = 3,2496 - 2,6244 = 0,6252
Portanto:
\alpha=\frac{8,10}{0,6252}\approx 12,96\\ \frac{\text{V}}{\text{A}}
Interpretação didática curta: a inclinação \alpha tem unidades de volt por ampère, que é igual a ohm ( \Omega); numericamente \alpha\approx 12,96\\ \Omega. Pense em \alpha como a resistência equivalente que relaciona V e I numa lei aproximada de Ohm V\approx R I.

Passo 5

Calcular \beta com a fórmula:
\beta=\frac{\sum V-\alpha\sum I}{n}=\frac{21-\bigl(12,9559\ldots\bigr)\cdot 1,62}{6}
Usando \alpha\approx 12,96:
\alpha\sum I \approx 12,96\cdot 1,62 \approx 20,988
\sum V - \alpha\sum I \approx 21 - 20,988 = 0,012
\beta \approx \frac{0,012}{6} \approx 0,00192\\ \text{V}
Interpretação: \beta é a interceptação com o eixo V. Aqui \beta é muito pequena (≈ 1,9\times 10^{-3} V), ou seja, a reta ajustada passa muito próxima da origem — não há offset significativo de tensão dentro da precisão dos dados.

Resposta

V = 12,96\,I + 0,00192
\alpha = 12,96\\ \text{V/A} = 12,96\\ \Omega
\beta = 0,00192\\ \text{V}

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