Considere uma barra homogênea com difusividade térmica igual a 3 de comprimento com extremidades isoladas termicamente. A temperatura inicial da barra é dada pela função não nula . Encontre a distribuição de temperatura na barra para . Isto é, utilize o método de separação de variáveis para encontrar a solução o problema abaixo em termos de .
Obs: Não serão aceitas fórmulas.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma barra de metal de 5 cm de comprimento, com uma propriedade chamada difusividade térmica igual a 3. As extremidades da barra estão isoladas termicamente, ou seja, não trocam calor com o ambiente. Inicialmente, a temperatura ao longo da barra é dada por uma função chamada . Nosso objetivo é descobrir como essa temperatura muda ao longo do tempo, ou seja, encontrar usando o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação que estamos lidando é a equação do calor:
ut - 3uxx = 0
Aqui, ux(0, t) = ux(5, t) = 0 representa a variação da temperatura no tempo, e é a variação da temperatura no espaço. Como as extremidades estão isoladas, as condições de contorno são:
Isso significa que não há fluxo de calor nas extremidades.
Passo 3
Usando o método de separação de variáveis, assumimos que a solução pode ser escrita como produto de duas funções, uma que depende apenas de u(x, t) = X(x)T(t) e outra que depende apenas de X(x)T'(t) - 3X''(x)T(t) = 0 :
T'(t)3T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Substituindo isso na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações:
Para T'(t) + 3lambda T(t) = 0 :
T(t) = Ce^-3lambda t
A solução dessa equação é:
X''(x) + lambda X(x) = 0
Para :
Com as condições de contorno , que são do tipo Neumann.
Passo 5
Resolvendo a equação de lambdan = (npi5)^2, n = 0, 1, 2, dots , encontramos que as soluções não triviais ocorrem quando:
Xn(x) = cos(npi x5)
E as respectivas funções próprias são:
Passo 6
Com isso, a solução geral da equação do calor é uma soma infinita das soluções separadas:
u(x, t) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi x5) e^-3(npi5)^2 t
Aqui, e são os coeficientes de Fourier que determinam como a temperatura inicial é decomposta nas diferentes frequências espaciais.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi x5) , usamos a condição inicial :
Os coeficientes são calculados através da fórmula de Fourier para funções de condições de contorno de Neumann.
Resposta
A distribuição de temperatura na barra para u(x, t) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi x5) e^-3(npi5)^2 t é dada por:
onde os coeficientes e são determinados a partir da condição inicial usando a série de Fourier correspondente.